Номер 182, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

182. Основание четырехугольной пирамиды — прямоугольник с диагональю $b$ и углом $\alpha$ между диагоналями. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Найдите этот угол, учитывая, что объем пирамиды равен $V$.

Пусть искомый угол наклона боковых ребер к плоскости основания равен $\beta$.

Основанием пирамиды является прямоугольник с диагональю $b$ и углом $\alpha$ между диагоналями. Площадь основания $S_{осн}$ можно найти по формуле площади четырехугольника через его диагонали:
$S_{осн} = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$.
Так как в прямоугольнике диагонали равны, $d_1 = d_2 = b$, то площадь основания:
$S_{осн} = \frac{1}{2}b^2\sin\alpha$.

По условию, все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения диагоналей $O$. Таким образом, высота пирамиды $H$ опускается в точку $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром и его проекцией на основание. Проекцией бокового ребра на основание является половина диагонали прямоугольника, то есть отрезок длиной $\frac{b}{2}$. Угол между боковым ребром и его проекцией и есть искомый угол $\beta$.
Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике ($\angle O = 90^\circ$) имеем:
$\tan\beta = \frac{H}{b/2} = \frac{2H}{b}$.
Отсюда можно выразить высоту пирамиды $H$:
$H = \frac{b}{2}\tan\beta$.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}S_{осн}H$.
Подставим в эту формулу найденные выражения для $S_{осн}$ и $H$:
$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}b^2\sin\alpha\right) \cdot \left(\frac{b}{2}\tan\beta\right)$.
Упростим выражение:
$V = \frac{b^3\sin\alpha\tan\beta}{12}$.

Из последнего равенства выразим $\tan\beta$, чтобы найти угол $\beta$:
$\tan\beta = \frac{12V}{b^3\sin\alpha}$.
Следовательно, искомый угол равен арктангенсу этого выражения.

Ответ: $\arctan\left(\frac{12V}{b^3\sin\alpha}\right)$