Номер 187, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

187. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см, а стороны оснований — 10 см и 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды, ее диагональ и объем.

Боковое ребро

Для нахождения бокового ребра $l$ правильной усеченной четырехугольной пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и отрезок $x$, соединяющий проекции конечных точек бокового ребра на плоскости оснований. Гипотенузой этого треугольника будет само боковое ребро $l$.

Дано:
Высота пирамиды $h = 7$ см.
Сторона большего основания (квадрата) $a_1 = 10$ см.
Сторона меньшего основания (квадрата) $a_2 = 2$ см.

Сначала найдем диагонали квадратных оснований по формуле $d = a\sqrt{2}$:
Диагональ большего основания: $d_1 = 10\sqrt{2}$ см.
Диагональ меньшего основания: $d_2 = 2\sqrt{2}$ см.

Центры оснований правильной усеченной пирамиды лежат на одной прямой (высоте). Проекция меньшего основания на плоскость большего основания будет расположена в его центре. Длина отрезка $x$ равна разности расстояний от центра до вершин оснований, то есть разности их полудиагоналей:
$x = \frac{d_1}{2} - \frac{d_2}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора находим боковое ребро $l$:
$l^2 = h^2 + x^2$
$l^2 = 7^2 + (4\sqrt{2})^2 = 49 + 16 \cdot 2 = 49 + 32 = 81$
$l = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: боковое ребро равно 9 см.

Диагональ

Диагональ усеченной пирамиды $D$ соединяет вершину одного основания с противоположной (не смежной) вершиной другого основания. Для ее нахождения также используем прямоугольный треугольник. Его катетами будут высота пирамиды $h$ и отрезок $y$ на плоскости большего основания, а гипотенузой — сама диагональ $D$.

Отрезок $y$ соединяет проекцию вершины верхнего основания с противоположной вершиной нижнего основания. Его длина равна сумме полудиагоналей оснований:
$y = \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

По теореме Пифагора находим диагональ пирамиды $D$:
$D^2 = h^2 + y^2$
$D^2 = 7^2 + (6\sqrt{2})^2 = 49 + 36 \cdot 2 = 49 + 72 = 121$
$D = \sqrt{121} = 11$ см.

Ответ: диагональ пирамиды равна 11 см.

Объем

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$, где $h$ — высота, а $S_1$ и $S_2$ — площади оснований.

Найдем площади квадратных оснований:
Площадь большего основания: $S_1 = a_1^2 = 10^2 = 100$ см².
Площадь меньшего основания: $S_2 = a_2^2 = 2^2 = 4$ см².

Теперь подставим все значения в формулу объема:
$V = \frac{1}{3} \cdot 7 \cdot (100 + \sqrt{100 \cdot 4} + 4)$
$V = \frac{7}{3} (100 + \sqrt{400} + 4)$
$V = \frac{7}{3} (100 + 20 + 4)$
$V = \frac{7}{3} \cdot 124 = \frac{868}{3}$ см³.

Можно представить ответ в виде смешанной дроби: $289\frac{1}{3}$ см³.

Ответ: объем пирамиды равен $\frac{868}{3}$ см³ (или $289\frac{1}{3}$ см³).