Номер 186, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

186. Четырехугольник $ABCD$ является основанием пирамиды $SABCD$. Его диагонали пересекаются в такой точке $O$, что $AO : OC = 1 : 2$, $BO : OD = 1 : 5$. Точки $M, K$ и $P$ на ребрах $SA, SB$ и $SC$ выбраны так, что $SM : MA = 1 : 2$, $SK : KB = 1 : 1$ и $SP : PC = 2 : 3$. Найдите отношение, в котором плоскость $MKP$ делит объем пирамиды.

Для решения задачи разобьем пирамиду $SABCD$ плоскостью $SAC$ на две треугольные пирамиды: $SABC$ и $SACD$. Секущая плоскость $MKP$ пересекает обе эти пирамиды. Объем части исходной пирамиды, находящейся над секущей плоскостью (содержащей вершину $S$), будет равен сумме объемов частей, отсекаемых от пирамид $SABC$ и $SACD$.

Воспользуемся теоремой об отношении объемов треугольной пирамиды и ее отсеченной части. Если плоскость пересекает боковые ребра $SA$, $SB$, $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ в точках $M$, $K$, $P$ соответственно, то отношение объема отсеченной пирамиды $SMKP$ к объему исходной пирамиды $SABC$ равно:$$ \frac{V_{SMKP}}{V_{SABC}} = \frac{SM}{SA} \cdot \frac{SK}{SB} \cdot \frac{SP}{SC} $$

Из условий задачи найдем отношения, в которых точки $M, K, P$ делят ребра:

• $SM : MA = 1 : 2 \implies \frac{SM}{SA} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$
• $SK : KB = 1 : 1 \implies \frac{SK}{SB} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$
• $SP : PC = 2 : 3 \implies \frac{SP}{SC} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$

Объем части, отсекаемой от пирамиды $SABC$, равен:$$ V_{SMKP} = V_{SABC} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}\right) = \frac{1}{15} V_{SABC} $$

Теперь найдем точку $N$ пересечения секущей плоскости $MKP$ с ребром $SD$. Для этого используем векторный метод. Примем вершину $S$ за начало координат. Обозначим $\vec{SA} = \vec{a}$, $\vec{SB} = \vec{b}$, $\vec{SC} = \vec{c}$, $\vec{SD} = \vec{d}$. Тогда $\vec{SM} = \frac{1}{3}\vec{a}$, $\vec{SK} = \frac{1}{2}\vec{b}$, $\vec{SP} = \frac{2}{5}\vec{c}$. Пусть $\vec{SN} = k\vec{d}$, где $k = \frac{SN}{SD}$ - искомое отношение.

Диагонали основания $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Выразим вектор $\vec{SO}$ двумя способами, используя данные отношения:

• Из $AO : OC = 1 : 2$ следует: $\vec{SO} = \frac{2\vec{SA} + 1\vec{SC}}{2+1} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{c}$
• Из $BO : OD = 1 : 5$ следует: $\vec{SO} = \frac{5\vec{SB} + 1\vec{SD}}{5+1} = \frac{5}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{d}$

Приравнивая выражения для $\vec{SO}$, получим связь между векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$:$$ \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{c} = \frac{5}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{d} $$Умножим обе части на 6:$$ 4\vec{a} + 2\vec{c} = 5\vec{b} + \vec{d} \implies \vec{d} = 4\vec{a} - 5\vec{b} + 2\vec{c} $$

Точки $M, K, P, N$ лежат в одной плоскости. Это означает, что вектор $\vec{MN}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{MK}$ и $\vec{MP}$: $\vec{MN} = x\vec{MK} + y\vec{MP}$. Отсюда $\vec{SN} - \vec{SM} = x(\vec{SK}-\vec{SM}) + y(\vec{SP}-\vec{SM})$, что эквивалентно $\vec{SN} = (1-x-y)\vec{SM} + x\vec{SK} + y\vec{SP}$. Подставляем векторные выражения для точек:$$ k\vec{d} = (1-x-y)\frac{1}{3}\vec{a} + x\frac{1}{2}\vec{b} + y\frac{2}{5}\vec{c} $$Теперь подставим выражение для $\vec{d}$:$$ k(4\vec{a} - 5\vec{b} + 2\vec{c}) = \frac{1-x-y}{3}\vec{a} + \frac{x}{2}\vec{b} + \frac{2y}{5}\vec{c} $$Так как векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ некомпланарны, мы можем приравнять коэффициенты при них:

1. $4k = \frac{1-x-y}{3}$
2. $-5k = \frac{x}{2} \implies x = -10k$
3. $2k = \frac{2y}{5} \implies y = 5k$

Подставим $x$ и $y$ в первое уравнение:$$ 4k = \frac{1 - (-10k) - 5k}{3} = \frac{1+5k}{3} $$$$ 12k = 1+5k \implies 7k = 1 \implies k = \frac{1}{7} $$Таким образом, $\frac{SN}{SD} = \frac{1}{7}$.

Теперь найдем объем части, отсекаемой от пирамиды $SACD$. Эта часть является пирамидой $SMPN$.$$ \frac{V_{SMPN}}{V_{SACD}} = \frac{SM}{SA} \cdot \frac{SP}{SC} \cdot \frac{SN}{SD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{105} $$$$ V_{SMPN} = \frac{2}{105} V_{SACD} $$

Общий объем отсеченной части $V_{верх}$ равен:$$ V_{верх} = V_{SMKP} + V_{SMPN} = \frac{1}{15} V_{SABC} + \frac{2}{105} V_{SACD} $$

Найдем соотношение между объемами $V_{SABC}$ и $V_{SACD}$. Их отношение равно отношению площадей их оснований $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$:$$ \frac{V_{SABC}}{V_{SACD}} = \frac{S_{ABC}}{S_{ACD}} $$Площади треугольников с общей стороной $AC$ относятся как высоты, проведенные к этой стороне, или, что эквивалентно, как отношение отрезков, на которые делится диагональ $BD$ точкой $O$.$$ \frac{S_{ABC}}{S_{ADC}} = \frac{S_{AOB} + S_{COB}}{S_{AOD} + S_{COD}} $$Пусть $S_{AOB} = S$. Тогда, используя отношения отрезков диагоналей:$S_{BOC} = S_{AOB} \cdot \frac{OC}{AO} = S \cdot \frac{2}{1} = 2S$.$S_{AOD} = S_{AOB} \cdot \frac{OD}{BO} = S \cdot \frac{5}{1} = 5S$.$S_{COD} = S_{BOC} \cdot \frac{OD}{BO} = 2S \cdot \frac{5}{1} = 10S$. Тогда $S_{ABC} = S + 2S = 3S$ и $S_{ACD} = 5S + 10S = 15S$.$$ \frac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \frac{3S}{15S} = \frac{1}{5} $$Следовательно, $V_{SACD} = 5 V_{SABC}$. Объем всей пирамиды $V_{SABCD} = V_{SABC} + V_{SACD} = V_{SABC} + 5V_{SABC} = 6V_{SABC}$. Отсюда $V_{SABC} = \frac{1}{6}V_{SABCD}$ и $V_{SACD} = \frac{5}{6}V_{SABCD}$.

Подставим эти соотношения в формулу для $V_{верх}$:$$ V_{верх} = \frac{1}{15} \left(\frac{1}{6}V_{SABCD}\right) + \frac{2}{105} \left(\frac{5}{6}V_{SABCD}\right) $$$$ V_{верх} = \frac{1}{90}V_{SABCD} + \frac{10}{630}V_{SABCD} = \frac{1}{90}V_{SABCD} + \frac{1}{63}V_{SABCD} $$Приведем дроби к общему знаменателю 630:$$ V_{верх} = \left(\frac{7}{630} + \frac{10}{630}\right)V_{SABCD} = \frac{17}{630}V_{SABCD} $$

Объем нижней части пирамиды $V_{низ}$ равен:$$ V_{низ} = V_{SABCD} - V_{верх} = V_{SABCD} - \frac{17}{630}V_{SABCD} = \frac{613}{630}V_{SABCD} $$

Искомое отношение, в котором плоскость $MKP$ делит объем пирамиды, равно:$$ \frac{V_{верх}}{V_{низ}} = \frac{\frac{17}{630}V_{SABCD}}{\frac{613}{630}V_{SABCD}} = \frac{17}{613} $$

Ответ: $17:613$.