Номер 180, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

180. Кристалл кварца состоит из правильной шестиугольной призмы с боковым ребром $6,2 \, \text{см}$ и стороной основания $1,7 \, \text{см}$ и двух правильных шестиугольных пирамид с боковым ребром $2,5 \, \text{см}$. Найдите массу кристалла, учитывая, что плотность кварца равна $2,7 \, \text{г}/\text{см}^3$.

Чтобы найти массу кристалла, необходимо сначала вычислить его полный объем, а затем умножить его на плотность кварца. Масса $m$, объем $V$ и плотность $\rho$ связаны соотношением $m = \rho \cdot V$.

Полный объем $V$ кристалла складывается из объема правильной шестиугольной призмы ($V_{пр}$) и объемов двух одинаковых правильных шестиугольных пирамид ($V_{пир}$): $V = V_{пр} + 2 \cdot V_{пир}$

Найдем объем призмы.

Объем призмы равен произведению площади ее основания $S_{осн}$ на высоту $H$. В данном случае высота призмы — это ее боковое ребро $H = 6,2$ см. Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a = 1,7$ см. Его площадь равна сумме площадей шести правильных треугольников со стороной $a$. $S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ $S_{осн} = \frac{3 \cdot (1,7)^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 2,89 \sqrt{3}}{2} = 4,335\sqrt{3}$ см².

Теперь вычислим объем призмы: $V_{пр} = S_{осн} \cdot H = 4,335\sqrt{3} \cdot 6,2 = 26,877\sqrt{3}$ см³.

Найдем объем одной пирамиды.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту $h$: $V_{пир} = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$. Основание пирамиды такое же, как у призмы: $S_{осн} = 4,335\sqrt{3}$ см². Высоту пирамиды $h$ найдем по теореме Пифагора. В правильной шестиугольной пирамиде высота, боковое ребро $l$ и радиус $R$ описанной около основания окружности образуют прямоугольный треугольник. Для правильного шестиугольника $R=a$. Дано: боковое ребро пирамиды $l=2,5$ см, сторона основания $a=1,7$ см. $h = \sqrt{l^2 - a^2} = \sqrt{(2,5)^2 - (1,7)^2} = \sqrt{6,25 - 2,89} = \sqrt{3,36}$ см.

Теперь вычислим объем одной пирамиды: $V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4,335\sqrt{3} \cdot \sqrt{3,36} = 1,445\sqrt{3 \cdot 3,36} = 1,445\sqrt{10,08}$ см³.

Вычислим общий объем и массу кристалла.

Полный объем кристалла: $V = V_{пр} + 2 \cdot V_{пир} = 26,877\sqrt{3} + 2 \cdot 1,445\sqrt{10,08} = 26,877\sqrt{3} + 2,89\sqrt{10,08}$ см³.

Для численного расчета воспользуемся калькулятором: $V \approx 26,877 \cdot 1,73205 + 2,89 \cdot 3,1749 \approx 46,551 + 9,175 \approx 55,726$ см³.

Плотность кварца дана как $\rho = 2,7$ г/см³. Найдем массу кристалла: $m = \rho \cdot V \approx 2,7 \cdot 55,726 \approx 150,46$ г.

Округляя результат до одного знака после запятой, получаем 150,5 г.

Ответ: 150,5 г.