Номер 176, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

176. Одно ребро тетраэдра равно 12 см, а остальные ребра — 9 см каждое.
Найдите объем тетраэдра.

Пусть у тетраэдра DABC одно из ребер, например, ребро основания AB, равно 12 см. Тогда остальные пять ребер равны 9 см каждое. Это означает, что основанием тетраэдра является равнобедренный треугольник ABC со сторонами $AC = BC = 9$ см и $AB = 12$ см. Боковые ребра, исходящие из вершины D, равны $DA = DB = DC = 9$ см.

Объем тетраэдра (пирамиды) вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$
где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

1. Найдем площадь основания $S_{ABC}$
Основание — равнобедренный треугольник ABC. Проведем в нем высоту CK к основанию AB. Так как треугольник равнобедренный, высота CK является также и медианой, поэтому она делит сторону AB пополам.
$AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CKB. По теореме Пифагора найдем высоту CK:
$CK^2 + KB^2 = BC^2$
$CK^2 + 6^2 = 9^2$
$CK^2 + 36 = 81$
$CK^2 = 81 - 36 = 45$
$CK = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.
Теперь можем вычислить площадь основания:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$ см².

2. Найдем высоту тетраэдра $H$
Пусть точка O — это проекция вершины D на плоскость основания ABC. Тогда отрезок DO является высотой тетраэдра ($H = DO$).
Поскольку все боковые ребра равны ($DA = DB = DC = 9$ см), их проекции на плоскость основания также будут равны ($OA = OB = OC$). Это значит, что точка O является центром окружности, описанной около треугольника ABC, а отрезки OA, OB, OC — ее радиусом $R$.
Радиус описанной окружности для произвольного треугольника можно найти по формуле:
$R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.
$R = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4 S_{ABC}} = \frac{9 \cdot 9 \cdot 12}{4 \cdot 18\sqrt{5}} = \frac{972}{72\sqrt{5}} = \frac{13.5}{\sqrt{5}} = \frac{27}{2\sqrt{5}}$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DOA (вершина D, катеты DO и OA, гипотенуза DA). По теореме Пифагора:
$DO^2 + OA^2 = DA^2$
$H^2 + R^2 = 9^2$
$H^2 + \left(\frac{27}{2\sqrt{5}}\right)^2 = 81$
$H^2 + \frac{729}{4 \cdot 5} = 81$
$H^2 + \frac{729}{20} = 81$
$H^2 = 81 - \frac{729}{20} = \frac{1620 - 729}{20} = \frac{891}{20}$
$H = \sqrt{\frac{891}{20}} = \sqrt{\frac{81 \cdot 11}{4 \cdot 5}} = \frac{9\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}$ см.

3. Вычислим объем тетраэдра $V$
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{5} \cdot \frac{9\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}$
Сократим $\sqrt{5}$ в числителе и знаменателе, а также выполним остальные вычисления:
$V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot \frac{9\sqrt{11}}{2} = 6 \cdot \frac{9\sqrt{11}}{2} = 3 \cdot 9\sqrt{11} = 27\sqrt{11}$ см³.

Ответ: $27\sqrt{11}$ см³.