Номер 171, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

171. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны 25 см, а третья сторона — 48 см. Найдите объем пирамиды, учитывая, что каждое ее боковое ребро равно 105 см.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$,

где $S_{осн}$ — площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

1. Найдем площадь основания.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник со сторонами 25 см, 25 см и 48 см. Для нахождения его площади сначала вычислим высоту $h_{осн}$, проведенную к основанию длиной 48 см. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и делит основание на два равных отрезка по $48 / 2 = 24$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза 25 см), половиной основания (катет 24 см) и высотой $h_{осн}$ (второй катет). По теореме Пифагора:

$h_{осн}^2 = 25^2 - 24^2$

$h_{осн}^2 = (25 - 24)(25 + 24) = 1 \cdot 49 = 49$

$h_{осн} = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 7 = 24 \cdot 7 = 168$ см².

2. Найдем высоту пирамиды.

По условию, все боковые ребра пирамиды равны (каждое по 105 см). Это важное свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Расстояние от центра описанной окружности до любой из вершин основания равно радиусу этой окружности ($R$).

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро $L$ образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой. Таким образом, $H^2 + R^2 = L^2$.

Сначала найдем радиус $R$ описанной окружности для треугольника в основании, используя формулу $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

$R = \frac{25 \cdot 25 \cdot 48}{4 \cdot 168} = \frac{625 \cdot 48}{672}$

Сократим дробь на 48 (т.к. $672 = 14 \cdot 48$):

$R = \frac{625}{14}$ см.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$ из соотношения $H = \sqrt{L^2 - R^2}$:

$H = \sqrt{105^2 - \left(\frac{625}{14}\right)^2}$

Используем формулу разности квадратов:

$H = \sqrt{\left(105 - \frac{625}{14}\right)\left(105 + \frac{625}{14}\right)} = \sqrt{\left(\frac{1470 - 625}{14}\right)\left(\frac{1470 + 625}{14}\right)}$

$H = \sqrt{\frac{845 \cdot 2095}{14^2}}$

Разложим числа 845 и 2095 на простые множители, чтобы извлечь корень:

$845 = 5 \cdot 169 = 5 \cdot 13^2$

$2095 = 5 \cdot 419$ (419 — простое число)

$H = \sqrt{\frac{(5 \cdot 13^2) \cdot (5 \cdot 419)}{14^2}} = \sqrt{\frac{5^2 \cdot 13^2 \cdot 419}{14^2}} = \frac{5 \cdot 13 \sqrt{419}}{14} = \frac{65\sqrt{419}}{14}$ см.

3. Найдем объем пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 168 \cdot \frac{65\sqrt{419}}{14}$

Выполним вычисления:

$V = 56 \cdot \frac{65\sqrt{419}}{14}$

Сократим 56 и 14:

$V = 4 \cdot 65\sqrt{419} = 260\sqrt{419}$ см³.

Ответ: $260\sqrt{419}$ см³.