Номер 168, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

168. Все боковые грани пирамиды $SABC$ наклонены к основанию под углом в $45^\circ$. Найдите объем пирамиды, учитывая, что $AC = 15$ см, $BC = 8$ см, $\angle ACB = 60^\circ$.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания пирамиды (площадь треугольника ABC).

Площадь треугольника можно найти по формуле, используя две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$. В нашем случае $a = AC = 15$ см, $b = BC = 8$ см, $\gamma = \angle ACB = 60^\circ$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB) = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ)$.

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Найдем высоту пирамиды H.

По условию, все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом $45^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности. Обозначим эту точку $O$. Тогда высота пирамиды $H = SO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $SO$, радиусом вписанной окружности $r$ (проведенным к одной из сторон основания, например, $OK \perp AC$) и апофемой боковой грани $SK$. Угол $\angle SKO$ — это и есть угол наклона боковой грани к основанию, то есть $\angle SKO = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SKO$: $\text{tg}(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{H}{r}$. $\text{tg}(45^\circ) = \frac{H}{r} \Rightarrow 1 = \frac{H}{r} \Rightarrow H = r$. Таким образом, высота пирамиды равна радиусу вписанной в основание окружности.

Радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

а) Найдем сторону AB по теореме косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$ $AB^2 = 15^2 + 8^2 - 2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$ $AB^2 = 225 + 64 - 2 \cdot 120 \cdot \frac{1}{2} = 289 - 120 = 169$ $AB = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$.

б) Найдем полупериметр треугольника ABC:

$p = \frac{AC + BC + AB}{2} = \frac{15 + 8 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}$.

в) Найдем радиус вписанной окружности (и высоту пирамиды):

$H = r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{30\sqrt{3}}{18} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.

3. Найдем объем пирамиды.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объем: $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 30\sqrt{3} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3}$.

$V = \frac{30\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3}}{9} = \frac{150 \cdot (\sqrt{3})^2}{9} = \frac{150 \cdot 3}{9} = \frac{450}{9} = 50 \text{ см}^3$.

Ответ: $50 \text{ см}^3$.