Номер 169, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

169*. Квадрат является основанием пирамиды, две ее грани перпендикулярны основанию, двугранный угол между противолежащими боковыми гранями равен $\alpha$, а высота пирамиды — $h$. Найдите объем, боковую и полную поверхность пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании. Пусть сторона квадрата равна $a$.

Из условия, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Это возможно только если эти грани смежные. Пусть грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$. Если две плоскости перпендикулярны третьей, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости. Линией пересечения граней $SAB$ и $SAD$ является ребро $SA$. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, $SA$ — высота пирамиды. По условию, высота равна $h$, поэтому $SA = h$.

Двугранный угол между противолежащими боковыми гранями равен $\alpha$. Рассмотрим, например, грани $SAD$ и $SBC$. Их линия пересечения — это прямая, проходящая через вершину $S$ параллельно ребру $AD$. Построим линейный угол этого двугранного угла. Так как $SA \perp AD$ и $AB \perp AD$, то плоскость $SAB$ перпендикулярна прямой $AD$, а значит, и линии пересечения граней. Следовательно, угол между прямыми $SA$ и $SB$ (линиями пересечения плоскости $SAB$ с гранями $SAD$ и $SBC$) является линейным углом данного двугранного угла. Таким образом, $\angle ASB = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAB$ (угол $\angle SAB = 90^\circ$, так как $SA \perp (ABCD)$). В этом треугольнике:

$\tan(\angle ASB) = \frac{AB}{SA}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\tan\alpha = \frac{a}{h}$

Отсюда выражаем сторону основания $a$:

$a = h \tan\alpha$

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Площадь основания (квадрата) равна $S_{осн} = a^2 = (h \tan\alpha)^2 = h^2 \tan^2\alpha$.

Высота пирамиды $H = SA = h$.

Тогда объем пирамиды равен:

$V = \frac{1}{3} (h^2 \tan^2\alpha) \cdot h = \frac{1}{3} h^3 \tan^2\alpha$

Ответ: $V = \frac{1}{3} h^3 \tan^2\alpha$.

Боковая поверхность пирамиды $S_{бок}$ — это сумма площадей четырех боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SCD}$.

Грани $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$ — это прямоугольные треугольники, так как $SA$ перпендикулярно $AB$ и $AD$.

$S_{\triangle SAB} = S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} h a = \frac{1}{2} h (h \tan\alpha) = \frac{1}{2} h^2 \tan\alpha$.

Для нахождения площадей граней $\triangle SBC$ и $\triangle SCD$ применим теорему о трех перпендикулярах. Так как $SA \perp (ABCD)$, $SB$ — наклонная, а $AB$ — ее проекция, и $AB \perp BC$, то и $SB \perp BC$. Аналогично, $SD \perp CD$. Таким образом, треугольники $\triangle SBC$ и $\triangle SCD$ также являются прямоугольными.

Найдем длины гипотенуз $SB$ и $SD$ из прямоугольных треугольников $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$:

$SB = SD = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{h^2 + a^2} = \sqrt{h^2 + (h \tan\alpha)^2} = h\sqrt{1 + \tan^2\alpha} = \frac{h}{\cos\alpha}$.

Площади граней $\triangle SBC$ и $\triangle SCD$ равны:

$S_{\triangle SBC} = S_{\triangle SCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} a \cdot \frac{h}{\cos\alpha} = \frac{1}{2} (h \tan\alpha) \frac{h}{\cos\alpha} = \frac{1}{2} h^2 \frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}$.

Теперь найдем полную боковую поверхность:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC} = 2 \cdot (\frac{1}{2} h^2 \tan\alpha) + 2 \cdot (\frac{1}{2} h^2 \frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}) = h^2 \tan\alpha + h^2 \frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}$.

Упростим выражение:

$S_{бок} = h^2 \left( \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha} \right) = h^2 \sin\alpha \left( \frac{1}{\cos\alpha} + \frac{1}{\cos^2\alpha} \right) = h^2 \frac{\sin\alpha(\cos\alpha + 1)}{\cos^2\alpha}$.

Ответ: $S_{бок} = h^2 \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\cos^2\alpha}$.

Полная поверхность пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности и площади основания.

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$.

$S_{осн} = a^2 = h^2 \tan^2\alpha = h^2 \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.

$S_{полн} = h^2 \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\cos^2\alpha} + h^2 \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{h^2}{\cos^2\alpha} \left( \sin\alpha(1 + \cos\alpha) + \sin^2\alpha \right)$.

$S_{полн} = \frac{h^2}{\cos^2\alpha} (\sin\alpha + \sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha) = \frac{h^2 \sin\alpha}{\cos^2\alpha} (1 + \cos\alpha + \sin\alpha)$.

Ответ: $S_{полн} = \frac{h^2 \sin\alpha(1 + \sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos^2\alpha}$.