Номер 165, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

165. Найдите объем пирамиды с высотой $h$, учитывая, что:

a) $h = 20$ см, а основанием является квадрат со стороной 30 см;

б) $h = 22$ м, а основанием является треугольник $ABC$, в котором $AB = 2$ м, $BC = 1,35$ м, $\angle ABC = 30^\circ$.

Общая формула для вычисления объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $V$ – объем, $S_{осн}$ – площадь основания, $h$ – высота пирамиды.

а)

По условию, высота пирамиды $h = 20$ см, а в основании лежит квадрат со стороной $a = 30$ см.

1. Сначала найдем площадь основания. Так как основание – это квадрат, его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a^2$

Подставляем значение стороны:

$S_{осн} = 30^2 = 900$ см².

2. Теперь можем вычислить объем пирамиды, используя общую формулу:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 900 \cdot 20$

$V = 300 \cdot 20 = 6000$ см³.

Ответ: $6000$ см³.

б)

По условию, высота пирамиды $h = 22$ м, а в основании лежит треугольник $ABC$, в котором $AB = 2$ м, $BC = 1,35$ м, и угол между этими сторонами $\angle ABC = 30^{\circ}$.

1. Сначала найдем площадь основания. Площадь треугольника можно найти по формуле, используя две стороны и синус угла между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$

Мы знаем, что $\sin(30^{\circ}) = 0,5$. Подставляем известные значения:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1,35 \cdot 0,5$

$S_{осн} = 1 \cdot 1,35 \cdot 0,5 = 0,675$ м².

2. Теперь вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 0,675 \cdot 22$

$V = 0,225 \cdot 22 = 4,95$ м³.

Ответ: $4,95$ м³.