Номер 161, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

161. Плоскость, параллельная основанию правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1 : 2, если считать от вершины. Апофема полученной усеченной пирамиды равна 4 дм, а площадь ее полной поверхности — $186 \text{ дм}^2$. Найдите высоту усеченной пирамиды.

Пусть $a$ — сторона большего (нижнего) основания, а $a_1$ — сторона меньшего (верхнего) основания усеченной пирамиды. Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основания являются квадратами. Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $S_{полн}$ складывается из площадей двух оснований ($S_{нижн} = a^2$ и $S_{верхн} = a_1^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных трапеций, поэтому ее площадь вычисляется как $S_{бок} = 2(a+a_1)l$, где $l$ — апофема усеченной пирамиды.

Формула для площади полной поверхности:$S_{полн} = a^2 + a_1^2 + 2(a+a_1)l$.

Из условия известно, что секущая плоскость делит высоту исходной пирамиды в отношении $1:2$, считая от вершины. Это означает, что малая отсеченная пирамида подобна исходной. Если высота малой пирамиды $h_{1}$, а высота усеченной части $h$, то $h_{1} : h = 1:2$. Высота полной пирамиды $H = h_{1} + h = h_{1} + 2h_{1} = 3h_{1}$. Коэффициент подобия $k$ этих пирамид равен отношению их высот: $k = \frac{h_{1}}{H} = \frac{h_{1}}{3h_{1}} = \frac{1}{3}$.

Отношение сторон оснований подобных пирамид также равно коэффициенту подобия:$\frac{a_1}{a} = k = \frac{1}{3}$, откуда $a_1 = \frac{a}{3}$.

Подставим это соотношение и данные из условия ($S_{полн} = 186$ дм², $l = 4$ дм) в формулу полной поверхности:$186 = a^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 + 2\left(a + \frac{a}{3}\right) \cdot 4$$186 = a^2 + \frac{a^2}{9} + 8\left(\frac{4a}{3}\right)$$186 = \frac{10a^2}{9} + \frac{32a}{3}$

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дробей:$186 \cdot 9 = 10a^2 + 3 \cdot 32a$$1674 = 10a^2 + 96a$Разделив на 2, получим квадратное уравнение:$5a^2 + 48a - 837 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 48^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-837) = 2304 + 16740 = 19044$$\sqrt{D} = \sqrt{19044} = 138$

Найдем корни уравнения:$a = \frac{-48 \pm 138}{2 \cdot 5} = \frac{-48 \pm 138}{10}$Так как длина стороны $a$ должна быть положительной, выбираем корень со знаком плюс:$a = \frac{-48 + 138}{10} = \frac{90}{10} = 9$ дм.

Теперь найдем сторону меньшего основания:$a_1 = \frac{a}{3} = \frac{9}{3} = 3$ дм.

Для нахождения высоты усеченной пирамиды $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, ее апофемой $l$ (в качестве гипотенузы) и отрезком, равным разности полу-оснований $\frac{a - a_1}{2}$ (в качестве катета). Этот треугольник является частью осевого сечения, проходящего через апофемы.

По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + \left(\frac{a - a_1}{2}\right)^2$

Подставим известные значения: $l=4$, $a=9$, $a_1=3$:$4^2 = h^2 + \left(\frac{9 - 3}{2}\right)^2$$16 = h^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2$$16 = h^2 + 3^2$$16 = h^2 + 9$$h^2 = 16 - 9 = 7$$h = \sqrt{7}$ дм.

Ответ: $\sqrt{7}$ дм.