Номер 159, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

159. Найдите апофему и высоту правильной усеченной треугольной пирамиды, у которой стороны оснований равны 15 см и 5 см, а боковое ребро — 13 см.

Пусть дана правильная усеченная треугольная пирамида. Сторона большего основания $a_1 = 15$ см, сторона меньшего основания $a_2 = 5$ см, а боковое ребро $l = 13$ см.

Апофема

Апофема усеченной пирамиды $h_a$ является высотой ее боковой грани. Боковая грань представляет собой равнобедренную трапецию. Основания этой трапеции равны сторонам оснований пирамиды ($15$ см и $5$ см), а боковые стороны равны боковому ребру пирамиды ($13$ см).

Чтобы найти высоту этой трапеции, проведем из вершин меньшего основания перпендикуляры к большему основанию. Они отсекут на большем основании отрезок, равный меньшему основанию. Оставшаяся часть большего основания разделится на два равных отрезка. Найдем длину одного из этих отрезков, который будет катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является боковое ребро, а вторым катетом — апофема.

Длина проекции бокового ребра на плоскость основания трапеции: $x = \frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{15 - 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем апофему $h_a$: $h_a^2 = l^2 - x^2$ $h_a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ $h_a = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: апофема равна 12 см.

Высота

Высоту усеченной пирамиды $H$ можно найти, рассмотрев прямоугольную трапецию, образованную высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и радиусами $r_1$ и $r_2$ окружностей, вписанных в основания пирамиды.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Найдем радиус для большего основания ($a_1 = 15$ см): $r_1 = \frac{15\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.

Найдем радиус для меньшего основания ($a_2 = 5$ см): $r_2 = \frac{5\sqrt{3}}{6}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенузой является апофема $h_a$, одним катетом — высота пирамиды $H$, а вторым катетом — разность радиусов $r_1 - r_2$.

$r_1 - r_2 = \frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{15\sqrt{3} - 5\sqrt{3}}{6} = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $H$: $H^2 = h_a^2 - (r_1 - r_2)^2$ $H^2 = 12^2 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 144 - \frac{25 \cdot 3}{9} = 144 - \frac{75}{9} = 144 - \frac{25}{3}$ $H^2 = \frac{144 \cdot 3 - 25}{3} = \frac{432 - 25}{3} = \frac{407}{3}$ $H = \sqrt{\frac{407}{3}} = \frac{\sqrt{1221}}{3}$ см.

Ответ: высота равна $\frac{\sqrt{1221}}{3}$ см.