Номер 157, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

157. Докажите, что в правильной усеченной пирамиде:

а) боковые ребра равны;

б) боковые грани равны;

в) апофемы равны;

г) двугранные углы при основании равны;

д) двугранные углы при боковых ребрах равны;

е) сумма двугранных углов при параллельных ребрах одной боковой грани равна $180^\circ$.

Для доказательства утверждений определим правильную усеченную пирамиду. Это многогранник, образованный сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию. Обозначим исходную правильную $n$-угольную пирамиду как $S A_1 A_2 ... A_n$, где $S$ — вершина, а $A_1 A_2 ... A_n$ — правильный многоугольник в основании. Секущая плоскость образует верхнее основание усеченной пирамиды $B_1 B_2 ... B_n$, которое также является правильным $n$-угольником, подобным нижнему. Центры оснований обозначим $O$ и $O_1$. Прямая $OO_1$ является осью пирамиды.

а) боковые ребра равны;

В правильной пирамиде $S A_1...A_n$ все боковые ребра $SA_1, SA_2, ..., SA_n$ равны. Это следует из равенства прямоугольных треугольников $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, ...$, у которых катет $SO$ (высота пирамиды) общий, а катеты $OA_1, OA_2, ...$ равны как радиусы окружности, описанной около правильного многоугольника в основании. Секущая плоскость, параллельная основанию, отсекает меньшую пирамиду $S B_1...B_n$, которая подобна исходной и также является правильной. Следовательно, ее боковые ребра $SB_1, SB_2, ..., SB_n$ также равны между собой. Боковые ребра усеченной пирамиды представляют собой отрезки $A_iB_i$. Длина каждого такого ребра равна разности длин боковых ребер исходной и отсеченной пирамид: $A_iB_i = SA_i - SB_i$. Поскольку все длины $SA_i$ равны между собой и все длины $SB_i$ равны между собой, их разности также будут равны. Таким образом, $A_1B_1 = A_2B_2 = ... = A_nB_n$. Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны.

Ответ: Утверждение доказано.

б) боковые грани равны;

Боковыми гранями правильной усеченной пирамиды являются равнобокие трапеции (поскольку боковые ребра, как доказано в п. а), равны). Чтобы доказать равенство всех боковых граней, воспользуемся свойством симметрии правильной усеченной пирамиды. Рассмотрим поворот вокруг оси пирамиды $OO_1$ на угол $ \frac{2\pi}{n} $ (или $ \frac{360^\circ}{n} $). При таком повороте нижнее основание $A_1...A_n$ переходит в себя (вершина $A_1$ переходит в $A_2$, $A_2$ в $A_3$ и т.д.), и верхнее основание $B_1...B_n$ также переходит в себя ($B_1 \to B_2$, $B_2 \to B_3$, ...). Следовательно, этот поворот совмещает каждую боковую грань со следующей. Например, грань $A_1A_2B_2B_1$ совмещается с гранью $A_2A_3B_3B_2$. Поскольку поворот является движением (изометрией), он сохраняет все расстояния и углы, а значит, совмещаемые фигуры равны. Таким образом, все боковые грани правильной усеченной пирамиды равны между собой.

Ответ: Утверждение доказано.

в) апофемы равны;

Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани. Как было доказано в пункте (б), все боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными трапециями. У равных фигур все соответствующие линейные элементы равны. Высота является одним из таких элементов для трапеции. Следовательно, высоты всех боковых граней, то есть апофемы, равны между собой.

Ответ: Утверждение доказано.

г) двугранные углы при основании равны;

Двугранный угол при основании — это угол между боковой гранью и плоскостью нижнего основания. Рассмотрим такой угол для грани $A_1A_2B_2B_1$. Ребром этого угла является сторона основания $A_1A_2$. Для построения его линейного угла возьмем середину $M_1$ ребра $A_1A_2$. Пусть $O$ — центр нижнего основания, а $K_1$ — середина ребра $B_1B_2$. Тогда апофема основания $OM_1$ перпендикулярна $A_1A_2$, и апофема боковой грани $M_1K_1$ также перпендикулярна $A_1A_2$. Угол $\angle OM_1K_1$ и есть линейный угол искомого двугранного угла. Аналогично, для соседней грани $A_2A_3B_3B_2$ линейный угол будет $\angle OM_2K_2$, где $M_2$ и $K_2$ — середины ребер $A_2A_3$ и $B_2B_3$ соответственно. В силу симметрии (поворота вокруг оси $OO_1$, как в п. б), двугранный угол при ребре $A_1A_2$ совмещается с двугранным углом при ребре $A_2A_3$, что доказывает их равенство. Можно также рассмотреть прямоугольные трапеции, образованные сечениями пирамиды. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ось $OO_1$ и апофему $M_1K_1$, представляет собой трапецию $OM_1K_1O_1$. Двугранный угол $\alpha$ равен углу $\angle OM_1K_1$. Тангенс этого угла равен $ \tan\alpha = \frac{OO_1}{OM_1 - O_1K_1} $. Поскольку высота пирамиды $h=OO_1$, апофема нижнего основания $OM_i$ и апофема верхнего основания $O_1K_i$ не зависят от выбора грани, то и значение угла $\alpha$ будет одинаковым для всех граней.

Ответ: Утверждение доказано.

д) двугранные углы при боковых ребрах равны;

Двугранный угол при боковом ребре — это угол между двумя смежными боковыми гранями. Рассмотрим угол при ребре $A_2B_2$, образованный гранями $A_1A_2B_2B_1$ и $A_2A_3B_3B_2$. Используем тот же прием с поворотом вокруг оси $OO_1$ на угол $ \frac{2\pi}{n} $. Этот поворот совмещает ребро $A_1B_1$ с ребром $A_2B_2$, грань $A_n A_1 B_1 B_n$ с гранью $A_1 A_2 B_2 B_1$, а грань $A_1 A_2 B_2 B_1$ с гранью $A_2 A_3 B_3 B_2$. Таким образом, вся геометрическая конфигурация, образующая двугранный угол при ребре $A_1B_1$, совмещается с конфигурацией, образующей угол при ребре $A_2B_2$. Так как поворот является изометрией, он сохраняет величину углов. Следовательно, все двугранные углы при боковых ребрах равны.

Ответ: Утверждение доказано.

е) сумма двугранных углов при параллельных ребрах одной боковой грани равна 180°;

Рассмотрим одну боковую грань, трапецию $A_1A_2B_2B_1$. Ее параллельные ребра — это $A_1A_2$ (принадлежит плоскости нижнего основания $\pi_A$) и $B_1B_2$ (принадлежит плоскости верхнего основания $\pi_B$). Плоскости оснований $\pi_A$ и $\pi_B$ параллельны. Пусть $\alpha$ — двугранный угол при ребре $A_1A_2$ (между боковой гранью и нижним основанием), а $\beta$ — двугранный угол при ребре $B_1B_2$ (между боковой гранью и верхним основанием). Для построения их линейных углов проведем плоскость, перпендикулярную ребрам $A_1A_2$ и $B_1B_2$. Такая плоскость содержит апофему боковой грани $M_1K_1$, апофему нижнего основания $OM_1$ и апофему верхнего основания $O_1K_1$. Все эти четыре точки $O, M_1, K_1, O_1$ лежат в одной плоскости. Линейным углом для $\alpha$ является угол $\angle OM_1K_1$. Линейным углом для $\beta$ является угол $\angle O_1K_1M_1$. В сечении пирамиды этой плоскостью мы получаем трапецию $OM_1K_1O_1$. Ее основания $OM_1$ и $O_1K_1$ параллельны, так как они являются соответствующими апофемами в подобных правильных многоугольниках и лежат в плоскостях, параллельных друг другу, а также в одной секущей плоскости. Углы $\angle OM_1K_1$ и $\angle O_1K_1M_1$ являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $OM_1$ и $O_1K_1$ и секущей $M_1K_1$. Сумма таких углов равна $180°$. Следовательно, $\alpha + \beta = 180°$.

Ответ: Утверждение доказано.