Номер 150, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

150. Прямоугольник с диагональю 24 см является основанием пирамиды, плоскости двух боковых граней которой перпендикулярны плоскости основания, а плоскости двух других боковых граней образуют с основанием углы в $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите поверхность пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — прямоугольник в основании, а $S$ — вершина пирамиды. Диагональ прямоугольника $AC = 24$ см.

По условию, плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания. Пусть это грани $(SAB)$ и $(SAD)$. Если две плоскости, имеющие общую прямую, перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$ и является высотой пирамиды. Обозначим $H = SA$.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это двугранный угол, который измеряется линейным углом.

• Для грани $SBC$ и основания $ABCD$ линией пересечения является ребро $BC$. Так как $SA \perp (ABCD)$, то ее проекция на плоскость основания - точка $A$. Прямая $AB$ в плоскости основания перпендикулярна $BC$ (т.к. $ABCD$ - прямоугольник). По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $SB$ также перпендикулярна $BC$. Следовательно, угол $\angle SBA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SBC$ и основанием.
• Аналогично, для грани $SDC$ и основания $ABCD$ линией пересечения является ребро $DC$. Так как $SA \perp (ABCD)$, то $SA \perp AD$. В прямоугольнике $AD \perp DC$. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $SD$ перпендикулярна $DC$. Следовательно, угол $\angle SDA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SDC$ и основанием.

По условию, эти углы равны $30^\circ$ и $45^\circ$. Пусть $\angle SBA = 30^\circ$ и $\angle SDA = 45^\circ$.

Найдем высоту пирамиды и стороны основания.

Обозначим стороны прямоугольника $a = AB$ и $b = AD = BC$. Из прямоугольного треугольника $\triangle SAB$ (угол $\angle A = 90^\circ$): $\tan(\angle SBA) = \frac{SA}{AB} \implies \tan(30^\circ) = \frac{H}{a} \implies a = \frac{H}{\tan(30^\circ)} = \frac{H}{1/\sqrt{3}} = H\sqrt{3}$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle SAD$ (угол $\angle A = 90^\circ$): $\tan(\angle SDA) = \frac{SA}{AD} \implies \tan(45^\circ) = \frac{H}{b} \implies b = \frac{H}{\tan(45^\circ)} = \frac{H}{1} = H$.

Стороны прямоугольника выражены через высоту $H$: $a = H\sqrt{3}$ и $b = H$. Диагональ прямоугольника связана с его сторонами по теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + b^2$. Подставим известные значения: $24^2 = (H\sqrt{3})^2 + H^2$ $576 = 3H^2 + H^2$ $576 = 4H^2$ $H^2 = \frac{576}{4} = 144$ $H = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь найдем длины сторон основания: $a = AB = 12\sqrt{3}$ см. $b = AD = 12$ см.

Вычислим площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = S_{ABCD} + S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC}$.

1. Площадь основания: $S_{осн} = S_{ABCD} = a \cdot b = 12\sqrt{3} \cdot 12 = 144\sqrt{3}$ см$^2$.
2. Площадь грани $SAB$: $\triangle SAB$ — прямоугольный с катетами $SA = H = 12$ и $AB = a = 12\sqrt{3}$. $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$ см$^2$.
3. Площадь грани $SAD$: $\triangle SAD$ — прямоугольный с катетами $SA = H = 12$ и $AD = b = 12$. $S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72$ см$^2$.
4. Площадь грани $SBC$: Как было показано, $\triangle SBC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Его катеты $BC = b = 12$ и $SB$. Найдем длину $SB$ из $\triangle SAB$: $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + (12\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 432} = \sqrt{576} = 24$ см. $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 24 = 144$ см$^2$.
5. Площадь грани $SDC$: Как было показано, $\triangle SDC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D$. Его катеты $DC = a = 12\sqrt{3}$ и $SD$. Найдем длину $SD$ из $\triangle SAD$: $SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{2 \cdot 144} = 12\sqrt{2}$ см. $S_{SDC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{2} = 72\sqrt{6}$ см$^2$.

Суммируем все площади: $S_{полн} = S_{ABCD} + S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC}$ $S_{полн} = 144\sqrt{3} + 72\sqrt{3} + 72 + 144 + 72\sqrt{6}$ $S_{полн} = (144\sqrt{3} + 72\sqrt{3}) + (72 + 144) + 72\sqrt{6}$ $S_{полн} = 216\sqrt{3} + 216 + 72\sqrt{6}$

Для более компактного вида ответа вынесем общий множитель 72 за скобки: $S_{полн} = 72(3\sqrt{3} + 3 + \sqrt{6})$ см$^2$.

Ответ: $72(3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{6})$ см$^2$.