Номер 154, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

154*. Найдите боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, учитывая, что сторона ее основания равна $a$, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной $a$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ — это сумма площадей шести равных боковых граней (равнобедренных треугольников). $S_{бок} = 6 \cdot S_{грань}$.

Найдем площадь боковой грани
Пусть $h_a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани, проведенная к стороне основания). Основание боковой грани равно $a$. Тогда ее площадь:
$S_{грань} = \frac{1}{2} a h_a$.

Найдем площадь сечения
Сечение, проведенное через вершину пирамиды и большую диагональ основания, представляет собой равнобедренный треугольник. Его основание — это большая диагональ правильного шестиугольника, которая равна $2a$. Высота этого треугольника — это высота пирамиды $H$.
Площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot H = aH$.

Используем условие задачи
По условию, $S_{грань} = S_{сеч}$, следовательно:
$\frac{1}{2} a h_a = aH$
Отсюда находим соотношение между апофемой и высотой пирамиды:
$h_a = 2H$.

Свяжем $h_a$ и $H$ через теорему Пифагора
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой пирамиды $h_a$ и апофемой основания (радиусом вписанной в шестиугольник окружности). Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Катеты треугольника — $H$ и $r$, гипотенуза — $h_a$. По теореме Пифагора:
$h_a^2 = H^2 + r^2$
$h_a^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = H^2 + \frac{3a^2}{4}$.

Решим систему уравнений
Мы получили систему:
$\begin{cases} h_a = 2H \\ h_a^2 = H^2 + \frac{3a^2}{4} \end{cases}$
Подставим первое уравнение во второе:
$(2H)^2 = H^2 + \frac{3a^2}{4}$
$4H^2 - H^2 = \frac{3a^2}{4}$
$3H^2 = \frac{3a^2}{4}$
$H^2 = \frac{a^2}{4} \implies H = \frac{a}{2}$.
Теперь найдем апофему:
$h_a = 2H = 2 \cdot \frac{a}{2} = a$.

Вычислим площадь боковой поверхности
Теперь, зная апофему $h_a=a$, мы можем найти площадь одной боковой грани:
$S_{грань} = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна:
$S_{бок} = 6 \cdot S_{грань} = 6 \cdot \frac{1}{2} a^2 = 3a^2$.

Ответ: $3a^2$.