Номер 144, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

144. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды имеет длину 12 см и образует угол в $60^\circ$ с плоскостью основания. Найдите поверхность пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем размеры и площадь основания.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина. $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. Боковое ребро $SA = 12$ см. Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол между ребром $SA$ и его проекцией $AO$ на эту плоскость, то есть $\angle SAO = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (где $\angle SOA = 90^\circ$):

• Гипотенуза $SA = 12$ см.
• $\angle SAO = 60^\circ$.

Найдем длину катета $AO$, который является половиной диагонали основания $AC$:

$AO = SA \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Тогда вся диагональ основания $AC$ равна:

$AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Так как в основании лежит квадрат, его сторона ($a$) связана с диагональю ($d$) формулой $d = a\sqrt{2}$. Найдем сторону основания $a$:

$a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность состоит из четырех равных равнобедренных треугольников (например, $\triangle SAB$). Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SAB}$.

Для нахождения площади треугольника $\triangle SAB$ найдем его высоту (апофему пирамиды). Пусть $SM$ — высота, проведенная к стороне $AB$. $M$ — середина $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAM$:

• Гипотенуза $SA = 12$ см.
• Катет $AM = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

По теореме Пифагора найдем апофему $SM$:

$SM^2 = SA^2 - AM^2 = 12^2 - (3\sqrt{2})^2 = 144 - 18 = 126$.

$SM = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$ см.

Теперь найдем площадь одной боковой грани:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{14} = 9\sqrt{2 \cdot 14} = 9\sqrt{28} = 9\sqrt{4 \cdot 7} = 9 \cdot 2\sqrt{7} = 18\sqrt{7}$ см².

Площадь всей боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SAB} = 4 \cdot 18\sqrt{7} = 72\sqrt{7}$ см².

3. Найдем полную площадь поверхности пирамиды.

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 72 + 72\sqrt{7} = 72(1 + \sqrt{7})$ см².

Ответ: $72(1 + \sqrt{7})$ см².