Номер 143, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

143. Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы.

Рассмотрим правильную $n$-угольную пирамиду. По определению, основанием такой пирамиды является правильный $n$-угольник, а все ее боковые грани — это равные между собой равнобедренные треугольники.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) пирамиды представляет собой сумму площадей всех ее боковых граней.

Пусть $a$ — длина стороны правильного многоугольника, лежащего в основании, и $n$ — количество его сторон. Тогда пирамида имеет $n$ одинаковых боковых граней.

Апофемой правильной пирамиды (обозначим ее $h_a$) называется высота ее боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания.

Площадь одной боковой грани (которая является треугольником) можно вычислить по формуле площади треугольника: половина произведения основания на высоту. В нашем случае основанием треугольника является сторона основания пирамиды $a$, а высотой — апофема $h_a$.$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Так как все $n$ боковых граней равны, то общая площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению площади одной грани на их количество:$S_{бок} = n \cdot S_{грани} = n \cdot \left(\frac{1}{2} a h_a\right)$

Перегруппируем множители в полученном выражении для удобства:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (n \cdot a) \cdot h_a$

Выражение $n \cdot a$ — это сумма длин всех сторон основания, то есть периметр основания пирамиды ($P_{осн}$).$P_{осн} = n \cdot a$

Подставив периметр в формулу площади боковой поверхности, получим:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_a$

По определению, полупериметр ($p$) — это половина периметра: $p = \frac{P_{осн}}{2}$.

Заменяя $\frac{1}{2} P_{осн}$ на $p$ в нашей формуле, мы приходим к окончательному выражению:$S_{бок} = p \cdot h_a$

Таким образом, мы доказали, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.