Номер 136, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

136. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а боковое ребро — $2a$. Найдите:

a) угол между боковым ребром и основанием;

б) площадь каждого диагонального сечения.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ и основанием $ABCDEF$. Центр основания — точка $O$.

По условию, сторона основания равна $a$, то есть $AB = BC = CD = DE = EF = FA = a$. Боковое ребро равно $2a$, то есть $SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2a$.

Так как пирамида правильная, ее высота $SO$ опускается в центр основания $O$.

Углом между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания является угол между этим ребром и его проекцией на плоскость основания. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $OA$. Следовательно, искомый угол — это $\angle SAO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SAO$. Он является прямоугольным, поскольку $SO$ — высота пирамиды, а значит $SO \perp OA$.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой из его вершин равно длине его стороны. Таким образом, $OA = AB = a$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SAO$ мы имеем:

• гипотенузу $SA = 2a$ (длина бокового ребра);
• катет $OA = a$ (проекция бокового ребра на основание).

Найдем косинус угла $\angle SAO$:

$ \cos(\angle SAO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OA}{SA} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} $

Из этого следует, что угол $\angle SAO$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Диагональное сечение пирамиды — это сечение, проходящее через вершину пирамиды и одну из диагоналей основания. Правильный шестиугольник имеет диагонали двух типов: большие (соединяющие противоположные вершины) и малые (соединяющие вершины через одну).

1. Сечение, проходящее через большую диагональ основания (например, $AD$).

Длина большой диагонали правильного шестиугольника в два раза больше его стороны: $AD = 2 \cdot OA = 2a$.

Рассмотрим диагональное сечение, которым является треугольник $\triangle SAD$. Его стороны:

• $SA = 2a$ (боковое ребро);
• $SD = 2a$ (боковое ребро);
• $AD = 2a$ (большая диагональ основания).

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle SAD$ равны $2a$, он является равносторонним. Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь сечения $\triangle SAD$ составляет:

$ S_1 = \frac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3} $

В пирамиде три таких сечения ($\triangle SAD, \triangle SBE, \triangle SCF$), и все они имеют одинаковую площадь.

2. Сечение, проходящее через малую диагональ основания (например, $AC$).

Длину малой диагонали $AC$ найдем из треугольника $\triangle ABC$ по теореме косинусов. В $\triangle ABC$ стороны $AB = BC = a$, а угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$ (внутренний угол правильного шестиугольника).

$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) $

$ AC^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2 $

$ AC = a\sqrt{3} $

Рассмотрим диагональное сечение $\triangle SAC$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $SA = SC = 2a$ и основанием $AC = a\sqrt{3}$.

Найдем высоту этого треугольника $h$, проведенную из вершины $S$ к основанию $AC$. По теореме Пифагора для половины треугольника:

$ h^2 = SA^2 - (\frac{AC}{2})^2 = (2a)^2 - (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = 4a^2 - \frac{3a^2}{4} = \frac{16a^2 - 3a^2}{4} = \frac{13a^2}{4} $

$ h = \sqrt{\frac{13a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} $

Площадь сечения $\triangle SAC$ равна:

$ S_2 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{3} \cdot \frac{a\sqrt{13}}{2} = \frac{a^2\sqrt{39}}{4} $

В пирамиде шесть таких сечений (по числу малых диагоналей), и все они имеют одинаковую площадь.

Таким образом, существуют диагональные сечения двух видов с разными площадями.

Ответ: Площадь сечения, проходящего через большую диагональ основания, равна $a^2\sqrt{3}$. Площадь сечения, проходящего через малую диагональ основания, равна $\frac{a^2\sqrt{39}}{4}$.