Номер 132, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

132. Боковые ребра пирамиды равны друг другу. Определите, может ли основанием пирамиды быть:

а) ромб;

б) прямоугольник;

в) трапеция;

г) правильный шестиугольник.

Ключевым свойством пирамиды, у которой все боковые ребра равны, является то, что ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Это следует из того, что равные наклонные (боковые ребра), проведенные из одной точки (вершины пирамиды) к плоскости (основанию), имеют равные проекции. Если $S$ — вершина пирамиды, $O$ — проекция вершины на плоскость основания, а $A_1, A_2, ..., A_n$ — вершины основания, то из равенства прямоугольных треугольников $\triangle SOA_1 \cong \triangle SOA_2 \cong ... \cong \triangle SOA_n$ (по гипотенузе и общему катету) следует равенство отрезков $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$. Эти отрезки являются радиусами окружности, описанной около многоугольника в основании.

Следовательно, задача сводится к вопросу: около каких из предложенных многоугольников можно описать окружность?

а) ромб;

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. В ромбе противолежащие углы равны. Пусть один угол ромба равен $\alpha$. Тогда противолежащий ему угол также равен $\alpha$. Условие для описанной окружности принимает вид $\alpha + \alpha = 180^\circ$, что означает $2\alpha = 180^\circ$, и $\alpha = 90^\circ$. Ромб, у которого углы прямые, является квадратом. Таким образом, ромб может быть основанием пирамиды с равными боковыми ребрами только в том случае, если он является квадратом. Поскольку квадрат — это частный случай ромба, то ответ на вопрос положительный.
Ответ: Да, может (если ромб является квадратом).

б) прямоугольник;

У любого прямоугольника все углы прямые, то есть равны $90^\circ$. Сумма противолежащих углов равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это является достаточным условием для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность. Центр описанной окружности для прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей. Следовательно, прямоугольник может быть основанием пирамиды с равными боковыми ребрами.
Ответ: Да, может.

в) трапеция;

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она является равнобокой (или равнобедренной), то есть ее боковые (непараллельные) стороны равны. В равнобокой трапеции суммы противолежащих углов равны $180^\circ$. Так как равнобокая трапеция является частным случаем трапеции, то трапеция может быть основанием пирамиды с равными боковыми ребрами.
Ответ: Да, может (если трапеция является равнобокой).

г) правильный шестиугольник.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Центр этой окружности совпадает с центром симметрии многоугольника. Правильный шестиугольник является правильным многоугольником, поэтому около него всегда можно описать окружность. Следовательно, правильный шестиугольник может быть основанием пирамиды с равными боковыми ребрами.
Ответ: Да, может.