Номер 135, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

135. Найдите площадь диагонального сечения правильной четырех-угольной пирамиды, у которой:

а) боковое ребро равно $b$ и составляет с плоскостью основания угол $\alpha$;

б) сторона основания равна $a$, а двугранный угол при основании — $\alpha$.

а) боковое ребро равно b и составляет с плоскостью основания угол α;

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Диагональное сечение — это равнобедренный треугольник $SAC$. Его площадь $S_{SAC}$ вычисляется по формуле $S_{SAC} = \frac{1}{2} AC \cdot SO$, где $AC$ — диагональ основания, а $SO$ — высота пирамиды.

По условию, боковое ребро, например $SC$, равно $b$. Угол между боковым ребром $SC$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол между ребром $SC$ и его проекцией $OC$ на эту плоскость, где $O$ - центр основания. Таким образом, $\angle SCO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$ (с прямым углом $\angle SOC = 90^\circ$). В нем гипотенуза $SC = b$. Катеты $SO$ (высота пирамиды) и $OC$ (половина диагонали основания) находятся через тригонометрические функции угла $\alpha$: $SO = SC \cdot \sin(\alpha) = b \sin(\alpha)$ и $OC = SC \cdot \cos(\alpha) = b \cos(\alpha)$.

Длина всей диагонали основания $AC$ равна удвоенной длине отрезка $OC$: $AC = 2 \cdot OC = 2b \cos(\alpha)$.

Теперь можем вычислить площадь диагонального сечения $SAC$: $S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot (2b \cos(\alpha)) \cdot (b \sin(\alpha)) = b^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$, можно представить результат в виде: $S_{SAC} = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$.

Ответ: $\frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$.

б) сторона основания равна a, а двугранный угол при основании — α.

По условию, сторона основания (квадрата $ABCD$) равна $a$. Диагональ основания $AC$ найдем по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Двугранный угол при основании — это угол между боковой гранью (например, $SCD$) и плоскостью основания $ABCD$. Чтобы его построить, проведем апофему $SK$ в грани $SCD$ (где $K$ — середина ребра $CD$) и отрезок $OK$ в плоскости основания. Так как пирамида правильная, $OK \perp CD$ и $SK \perp CD$. Следовательно, угол $\angle SKO$ является линейным углом данного двугранного угла, и по условию $\angle SKO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ (с прямым углом $\angle SOK = 90^\circ$). Длина катета $OK$ равна половине стороны квадрата: $OK = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$. Высоту пирамиды $SO$ (второй катет) найдем из этого треугольника: $\tan(\alpha) = \frac{SO}{OK}$, откуда $SO = OK \cdot \tan(\alpha) = \frac{a}{2} \tan(\alpha)$.

Площадь диагонального сечения $SAC$ равна: $S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{a}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2\sqrt{2}}{4} \tan(\alpha)$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2}}{4} \tan(\alpha)$.