Номер 134, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

134. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см,

а ее высота — $4\sqrt{3}$. Найдите:

а) боковое ребро пирамиды;

б) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $ABC$ — равносторонний треугольник в основании, $S$ — вершина пирамиды. Сторона основания $a = AB = BC = AC = 12$ см. Высота пирамиды $SO = H = 4\sqrt{3}$ см, где $O$ — центр основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника $ABC$).

а) боковое ребро пирамиды;

Боковое ребро пирамиды, например $SA$, является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $SOA$. Катетами этого треугольника являются высота пирамиды $SO$ и радиус $AO$ окружности, описанной около основания.

1. Найдем радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a = 12$ см. Формула для радиуса:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим известное значение стороны $a$:

$R = AO = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $SOA$ для нахождения бокового ребра $SA$:

$SA^2 = SO^2 + AO^2$

Подставим значения высоты $SO = 4\sqrt{3}$ и радиуса $AO = 4\sqrt{3}$:

$SA^2 = (4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 = (16 \cdot 3) + (16 \cdot 3) = 48 + 48 = 96$

$SA = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см.

Ответ: $4\sqrt{6}$ см.

б) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания ($ABC$) — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $SA$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AO$. Таким образом, искомый угол — это $\angle SAO$ в прямоугольном треугольнике $SOA$.

Мы знаем длины катетов этого треугольника:

$SO = 4\sqrt{3}$ см (противолежащий катет)

$AO = 4\sqrt{3}$ см (прилежащий катет)

Найдем тангенс угла $\angle SAO$:

$\tan(\angle SAO) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{SO}{AO}$

$\tan(\angle SAO) = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.

$\angle SAO = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.