Номер 133, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

133. Докажите, что если у пирамиды равны все:

а) боковые ребра, то около ее основания можно описать окружность и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды;

б) двугранные углы при основании, то в это основание можно вписать окружность и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды.

а) боковые ребра, то около ее основания можно описать окружность и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды;

Пусть дана пирамида $S A_1 A_2 \dots A_n$ с вершиной $S$ и основанием в виде многоугольника $A_1 A_2 \dots A_n$. Проведем высоту пирамиды $SO$ из вершины $S$ на плоскость основания. Точка $O$ является основанием высоты.

По определению высоты, отрезок $SO$ перпендикулярен плоскости основания. Это означает, что $SO$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. В частности, отрезки $OA_1, OA_2, \dots, OA_n$, соединяющие основание высоты с вершинами основания, перпендикулярны высоте $SO$.

Рассмотрим треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$. Все они являются прямоугольными, так как угол при вершине $O$ в каждом из них равен $90^\circ$.

По условию задачи, все боковые ребра пирамиды равны между собой, то есть $SA_1 = SA_2 = \dots = SA_n$. Эти ребра являются гипотенузами в рассматриваемых прямоугольных треугольниках.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$ имеют общий катет $SO$ и равные гипотенузы $SA_1 = SA_2 = \dots = SA_n$. Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$.

Равенство отрезков $OA_1, OA_2, \dots, OA_n$ означает, что точка $O$ (основание высоты пирамиды) равноудалена от всех вершин многоугольника $A_1 A_2 \dots A_n$.

Согласно определению, точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника, является центром окружности, описанной около этого многоугольника.

Следовательно, около основания пирамиды можно описать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) двугранные углы при основании, то в это основание можно вписать окружность и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды.

Пусть дана пирамида $S A_1 A_2 \dots A_n$ с вершиной $S$. Проведем высоту пирамиды $SO$ на плоскость основания, где $O$ — основание высоты.

Двугранный угол при основании — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. По условию, все эти углы равны.

Для измерения двугранного угла при какой-либо стороне основания, например, $A_k A_{k+1}$, построим его линейный угол. Для этого из точки $O$ (основания высоты) опустим перпендикуляр $OH_k$ на прямую, содержащую сторону $A_k A_{k+1}$. Таким образом, $OH_k \perp A_k A_{k+1}$.

Соединим точки $S$ и $H_k$. Отрезок $SO$ является перпендикуляром к плоскости основания, а отрезок $OH_k$ — проекцией наклонной $SH_k$ на эту плоскость. Поскольку проекция $OH_k$ перпендикулярна прямой $A_k A_{k+1}$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $SH_k$ перпендикулярна этой прямой: $SH_k \perp A_k A_{k+1}$.

Так как $OH_k \perp A_k A_{k+1}$ и $SH_k \perp A_k A_{k+1}$, то угол $\angle SH_kO$ является линейным углом двугранного угла между боковой гранью $SA_k A_{k+1}$ и плоскостью основания. Высота $SH_k$ боковой грани называется апофемой.

Проделав аналогичные построения для всех сторон основания, мы получим линейные углы $\angle SH_1O, \angle SH_2O, \dots, \angle SH_nO$. Поскольку по условию все двугранные углы при основании равны, то равны и их линейные углы.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOH_1, \triangle SOH_2, \dots, \triangle SOH_n$ (они прямоугольные, так как $SO$ — высота). У этих треугольников общий катет $SO$ и равные острые углы (например, $\angle SH_1O = \angle SH_2O = \dots$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов: $OH_1 = OH_2 = \dots = OH_n$.

Длины отрезков $OH_k$ представляют собой расстояния от точки $O$ до сторон многоугольника в основании. Равенство этих расстояний означает, что точка $O$ равноудалена от всех сторон основания.

Согласно определению, точка внутри многоугольника, равноудаленная от всех его сторон, является центром вписанной в него окружности.

Следовательно, в основание пирамиды можно вписать окружность, и ее центр совпадает с основанием высоты пирамиды. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.