Номер 167, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

167. Найдите боковую поверхность и объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а высота — 12 см.

В задаче дана правильная треугольная пирамида. Это значит, что её основанием является равносторонний треугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр этого треугольника.

Исходные данные:

• Сторона основания, $a = 6$ см.
• Высота пирамиды, $H = 12$ см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

1. Найдем периметр основания. Основание — равносторонний треугольник со стороной $a = 6$ см. Периметр равен:

$P = 3a = 3 \cdot 6 = 18$ см.

2. Найдем апофему $h_a$. Апофема, высота пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник. Апофема $h_a$ в нем является гипотенузой.

Сначала вычислим радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ формула радиуса: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

3. Теперь по теореме Пифагора ($h_a^2 = H^2 + r^2$) найдем апофему:

$h_a = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{12^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 3} = \sqrt{147}$.

Упростим значение корня: $\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$ см.

4. Подставим найденные значения $P$ и $h_a$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 7\sqrt{3} = 9 \cdot 7\sqrt{3} = 63\sqrt{3}$ см².

Ответ: $S_{бок} = 63\sqrt{3}$ см².

Объем пирамиды ($V$) вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания. Основание — равносторонний треугольник со стороной $a = 6$ см. Его площадь вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

2. Подставим значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 12 = 3\sqrt{3} \cdot 12 = 36\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $V = 36\sqrt{3}$ см³.