Номер 172, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

172. Найдите объем и боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, учитывая, что ее боковое ребро равно 37 см, а диаметр круга, вписанного в основание, — $12\sqrt{3}$ см.

Для нахождения объема и боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды нам необходимо сначала определить параметры ее основания (сторону, радиусы вписанной и описанной окружностей), а затем высоту и апофему самой пирамиды.

Исходные данные: боковое ребро $l = 37$ см, диаметр вписанной в основание окружности $d_{вп} = 12\sqrt{3}$ см.

1. Определение параметров основания (правильного шестиугольника).

Радиус вписанной окружности $r$ равен половине ее диаметра: $r = \frac{d_{вп}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности связан с его стороной $a$ по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Выразим и найдем сторону $a$: $a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$ см.

Теперь, зная сторону основания, мы можем найти все остальные необходимые параметры для дальнейших расчетов.

Объем

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Найдем площадь основания. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 144 = 3\sqrt{3} \cdot 72 = 216\sqrt{3}$ см$^2$.

Найдем высоту пирамиды $H$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности $R$ равен стороне основания, то есть $R = a = 12$ см. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l$ и радиус описанной окружности $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = l^2$ $H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35$ см.

Теперь вычислим объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 216\sqrt{3} \cdot 35 = 72\sqrt{3} \cdot 35 = 2520\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $2520\sqrt{3}$ см$^3$.

Боковая поверхность

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}P_{осн} \cdot h_a$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема пирамиды (высота ее боковой грани).

Найдем периметр основания. Периметр правильного шестиугольника равен $P_{осн} = 6a$: $P_{осн} = 6 \cdot 12 = 72$ см.

Найдем апофему пирамиды $h_a$. Апофема, высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $h_a$ — гипотенуза. По теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + r^2$ $h_a = \sqrt{35^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{1225 + 36 \cdot 3} = \sqrt{1225 + 108} = \sqrt{1333}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot \sqrt{1333} = 36\sqrt{1333}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{1333}$ см$^2$.