Номер 178, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

178. Определите, как изменится площадь боковой, полной поверхности и объем пирамиды, если, оставив углы прежними, все ее ребра:

а) увеличить в 2 раза;

б) уменьшить в 5 раз.

а) увеличить в 2 раза

Если все ребра пирамиды увеличить в некоторое количество раз ($k$), оставив углы прежними, то мы получим новую пирамиду, подобную исходной. Коэффициент подобия $k$ будет равен отношению длин соответствующих ребер новой и старой пирамид. В данном случае, все ребра увеличиваются в 2 раза, следовательно, коэффициент подобия $k = 2$.

Площадь поверхности (как боковой, так и полной) связана с линейными размерами фигуры квадратичной зависимостью. Это значит, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$).

Изменение площади будет равно $k^2 = 2^2 = 4$.

Таким образом, площадь боковой и полной поверхности пирамиды увеличится в 4 раза.

Объем связан с линейными размерами кубической зависимостью. Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия ($k^3$).

Изменение объема будет равно $k^3 = 2^3 = 8$.

Таким образом, объем пирамиды увеличится в 8 раз.

Ответ: площадь боковой и полной поверхности увеличится в 4 раза, а объем увеличится в 8 раз.

б) уменьшить в 5 раз

В этом случае все ребра пирамиды уменьшаются в 5 раз. Новая пирамида будет подобна исходной с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{5}$.

Площадь боковой и полной поверхности изменится в $k^2$ раз.

Найдем, во сколько раз изменится площадь: $k^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$.

Это означает, что площадь боковой и полной поверхности уменьшится в 25 раз.

Объем пирамиды изменится в $k^3$ раз.

Найдем, во сколько раз изменится объем: $k^3 = (\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125}$.

Это означает, что объем пирамиды уменьшится в 125 раз.

Ответ: площадь боковой и полной поверхности уменьшится в 25 раз, а объем уменьшится в 125 раз.