Номер 183, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

183. Основанием пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$. На ребрах $SA$, $SB$ и $SC$ точки $M$, $K$ и $P$ выбраны так, что $SM : MA = 2 : 3$, $SK : KB = 1 : 2$ и $SP : PC = 3 : 4$. Найдите отношение, в котором плоскость $MKP$ делит объем пирамиды.

Решение:

Пусть $V$ — объем пирамиды $SABCD$. Поскольку основание $ABCD$ — прямоугольник, его можно разбить диагональю $AC$ на два равных треугольника $ABC$ и $ACD$. Следовательно, пирамиду $SABCD$ можно разбить на две треугольные пирамиды $SABC$ и $SACD$ с равными объемами:

$V_{SABC} = V_{SACD} = \frac{1}{2} V_{SABCD} = \frac{V}{2}$.

Плоскость $MKP$ отсекает от пирамиды $SABCD$ многогранник $SMKPN$, где $N$ — точка пересечения плоскости $MKP$ с ребром $SD$. Объем этого многогранника $V_{верх}$ можно найти как сумму объемов двух тетраэдров: $V_{SMKP}$ и $V_{SMPN}$.

Найдем отношения, в которых точки $M, K, P$ делят боковые ребра, считая от вершины $S$:

• Из $SM : MA = 2 : 3$ следует, что $\frac{SM}{SA} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$.
• Из $SK : KB = 1 : 2$ следует, что $\frac{SK}{SB} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$.
• Из $SP : PC = 3 : 4$ следует, что $\frac{SP}{SC} = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$.

Объем тетраэдра $SMKP$ относится к объему тетраэдра $SABC$ как произведение отношений длин ребер, выходящих из общей вершины $S$:

$\frac{V_{SMKP}}{V_{SABC}} = \frac{SM}{SA} \cdot \frac{SK}{SB} \cdot \frac{SP}{SC} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{105} = \frac{2}{35}$.

Отсюда $V_{SMKP} = \frac{2}{35} V_{SABC} = \frac{2}{35} \cdot \frac{V}{2} = \frac{1}{35} V$.

Теперь найдем положение точки $N$ на ребре $SD$. Пусть $\frac{SN}{SD} = n$. Поскольку точки $M, K, P, N$ лежат в одной плоскости, а основание пирамиды — параллелограмм (в частном случае, прямоугольник), для отношений длин отрезков на боковых ребрах выполняется соотношение:

$\frac{1}{SM/SA} + \frac{1}{SP/SC} = \frac{1}{SK/SB} + \frac{1}{SN/SD}$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{2/5} + \frac{1}{3/7} = \frac{1}{1/3} + \frac{1}{n}$

$\frac{5}{2} + \frac{7}{3} = 3 + \frac{1}{n}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{15}{6} + \frac{14}{6} = 3 + \frac{1}{n}$

$\frac{29}{6} = 3 + \frac{1}{n}$

$\frac{1}{n} = \frac{29}{6} - 3 = \frac{29}{6} - \frac{18}{6} = \frac{11}{6}$

Отсюда $n = \frac{6}{11}$, то есть $\frac{SN}{SD} = \frac{6}{11}$.

Теперь найдем объем тетраэдра $SMPN$ по аналогии с $V_{SMKP}$. Он отсекается от тетраэдра $SACD$.

$\frac{V_{SMPN}}{V_{SACD}} = \frac{SM}{SA} \cdot \frac{SP}{SC} \cdot \frac{SN}{SD} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{6}{11} = \frac{36}{385}$.

$V_{SMPN} = \frac{36}{385} V_{SACD} = \frac{36}{385} \cdot \frac{V}{2} = \frac{18}{385} V$.

Объем верхней части пирамиды, отсеченной плоскостью $MKP$, равен:

$V_{верх} = V_{SMKP} + V_{SMPN} = \frac{1}{35} V + \frac{18}{385} V$.

Приведем дроби к общему знаменателю 385 ($385 = 35 \cdot 11$):

$V_{верх} = \frac{11}{385} V + \frac{18}{385} V = \frac{11+18}{385} V = \frac{29}{385} V$.

Объем нижней части пирамиды равен:

$V_{низ} = V - V_{верх} = V - \frac{29}{385} V = \frac{385-29}{385} V = \frac{356}{385} V$.

Искомое отношение объемов, в котором плоскость $MKP$ делит объем пирамиды, равно:

$\frac{V_{верх}}{V_{низ}} = \frac{\frac{29}{385} V}{\frac{356}{385} V} = \frac{29}{356}$.

Ответ: $29 : 356$.