Номер 188, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

188. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4 см и 10 см, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна $42 \text{ см}^2$. Найдите объем пирамиды.

189* Найдите объем частей пирамиды, на которые она рассечена плос-

Пусть дана правильная усеченная четырехугольная пирамида $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — нижнее основание, а $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее основание. Поскольку пирамида правильная, ее основаниями являются квадраты.

По условию задачи, стороны оснований равны $a = 10$ см (сторона нижнего основания) и $b = 4$ см (сторона верхнего основания).

Найдем площади оснований. Площадь нижнего основания $S_1$ и площадь верхнего основания $S_2$ равны:

$S_1 = a^2 = 10^2 = 100 \text{ см}^2$

$S_2 = b^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2$

Сечение пирамиды, проходящее через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (например, через ребра $AA_1$ и $CC_1$), является диагональным сечением $AA_1C_1C$. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диагонали квадратов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, то есть отрезки $AC$ и $A_1C_1$. Высота этой трапеции совпадает с высотой $h$ усеченной пирамиды.

Найдем длины диагоналей оснований $d_1$ и $d_2$ по формуле диагонали квадрата $d = \text{сторона} \cdot \sqrt{2}$:

Диагональ нижнего основания: $d_1 = AC = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.

Диагональ верхнего основания: $d_2 = A_1C_1 = b\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Площадь трапеции (диагонального сечения) вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$.

По условию, $S_{сеч} = 42 \text{ см}^2$. Подставим известные значения в формулу и найдем высоту пирамиды $h$:

$42 = \frac{10\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \cdot h$

$42 = \frac{14\sqrt{2}}{2} \cdot h$

$42 = 7\sqrt{2} \cdot h$

$h = \frac{42}{7\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная высоту и площади оснований, мы можем найти объем усеченной пирамиды по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

Подставим все найденные значения:

$V = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{2} (100 + 16 + \sqrt{100 \cdot 16})$

$V = \sqrt{2} (116 + \sqrt{1600})$

$V = \sqrt{2} (116 + 40)$

$V = \sqrt{2} \cdot 156 = 156\sqrt{2} \text{ см}^3$.

Ответ: $156\sqrt{2} \text{ см}^3$.