Номер 10, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. Сформулируйте свойство основания пирамиды, у которой равны все: боковые ребра; двугранные углы при основании.

боковые ребра

Рассмотрим пирамиду $S A_1 A_2 \dots A_n$, где $S$ - вершина, а $A_1 A_2 \dots A_n$ - многоугольник в основании. Пусть $O$ - проекция вершины $S$ на плоскость основания. Тогда отрезок $SO$ является высотой пирамиды, то есть $SO \perp (A_1 A_2 \dots A_n)$.

Боковыми ребрами пирамиды являются отрезки $SA_1, SA_2, \dots, SA_n$. По условию, все они равны: $SA_1 = SA_2 = \dots = SA_n = l$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$. У всех этих треугольников катет $SO$ - общий, а их гипотенузы $SA_1, SA_2, \dots, SA_n$ равны по условию.

По теореме Пифагора для любого из этих треугольников, например $\triangle SOA_i$, имеем: $SA_i^2 = SO^2 + OA_i^2$.

Так как $SA_i = l$ (постоянная величина) и $SO = h$ (общая высота), то для длин отрезков $OA_i$ получаем: $OA_i^2 = l^2 - h^2$. Следовательно, все отрезки $OA_1, OA_2, \dots, OA_n$ равны между собой.

Равенство отрезков $OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$ означает, что точка $O$ (основание высоты) равноудалена от всех вершин многоугольника $A_1 A_2 \dots A_n$. Точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника, является центром описанной около этого многоугольника окружности.

Таким образом, если у пирамиды все боковые ребра равны, то ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Это возможно только в том случае, если около многоугольника, лежащего в основании, можно описать окружность.

Ответ: Если все боковые ребра пирамиды равны, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, описанной около основания. Следовательно, около основания такой пирамиды можно описать окружность.

двугранные углы при основании

Рассмотрим ту же пирамиду $S A_1 A_2 \dots A_n$ с вершиной $S$ и высотой $SO=h$.

Двугранный угол при основании - это угол между боковой гранью (например, $S A_i A_{i+1}$) и плоскостью основания. По условию, все эти углы равны.

Для измерения двугранного угла при ребре основания $A_i A_{i+1}$ построим его линейный угол. Для этого из точки $O$ (основание высоты) опустим перпендикуляр $OH_i$ на сторону $A_i A_{i+1}$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $SO \perp (A_1 A_2 \dots A_n)$ и $OH_i \perp A_i A_{i+1}$, то наклонная $SH_i$ также будет перпендикулярна стороне $A_i A_{i+1}$. Отрезок $SH_i$ является апофемой боковой грани $S A_i A_{i+1}$.

Угол $\angle SH_i O$ является линейным углом двугранного угла при ребре $A_i A_{i+1}$. По условию, все такие углы равны, обозначим их величину через $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOH_1, \triangle SOH_2, \dots, \triangle SOH_n$. У всех этих треугольников катет $SO$ - общий, а острые углы $\angle SH_1 O, \angle SH_2 O, \dots, \angle SH_n O$ равны $\alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle SOH_i$ имеем: $\mathrm{ctg}(\angle SH_i O) = \frac{OH_i}{SO}$ или $OH_i = SO \cdot \mathrm{ctg}(\alpha)$.

Так как высота $SO=h$ и угол $\alpha$ - постоянные величины для всех граней, то длины отрезков $OH_1, OH_2, \dots, OH_n$ равны между собой.

Длина отрезка $OH_i$ - это расстояние от точки $O$ до прямой, содержащей сторону $A_i A_{i+1}$ основания. Равенство $OH_1 = OH_2 = \dots = OH_n$ означает, что точка $O$ (основание высоты) равноудалена от всех сторон многоугольника, лежащего в основании. Точка, равноудаленная от всех сторон многоугольника, является центром вписанной в этот многоугольник окружности.

Таким образом, если у пирамиды все двугранные углы при основании равны, то ее вершина проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Это возможно только в том случае, если в многоугольник, лежащий в основании, можно вписать окружность.

Ответ: Если все двугранные углы при основании пирамиды равны, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, вписанной в основание. Следовательно, в основание такой пирамиды можно вписать окружность.