Номер 8, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Сформулируйте свойства отрезков образующей и высоты конуса, на которые они разделяются плоскостью, параллельной основанию.

Свойство отрезков образующей и высоты конуса, на которые они разделяются плоскостью, параллельной основанию, вытекает из подобия треугольников, которые можно рассмотреть в осевом сечении конуса.

Рассмотрим конус с вершиной $S$, высотой $SO$ и произвольной образующей $SA$. Пусть $H$ - длина высоты ($SO=H$), а $L$ - длина образующей ($SA=L$).

Проведем плоскость $\alpha$, параллельную основанию конуса. Эта плоскость пересекает высоту $SO$ в точке $O_1$, а образующую $SA$ в точке $A_1$. В результате образуется меньший конус с вершиной $S$, высотой $SO_1$ и образующей $SA_1$. Обозначим их длины как $H_1$ и $L_1$ соответственно.

Чтобы найти связь между отрезками, рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через высоту $SO$ и образующую $SA$. В этом сечении мы имеем прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (с прямым углом $\angle SOA$). Секущая плоскость $\alpha$ пересекает это сечение по прямой $O_1A_1$.

Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна основанию, то прямая $O_1A_1$ параллельна прямой $OA$ ($O_1A_1 \parallel OA$).

Рассмотрим два треугольника, образовавшихся в осевом сечении: $\triangle SO_1A_1$ и $\triangle SOA$.

• Угол при вершине $S$ ($\angle ASO$) является общим для обоих треугольников.
• Так как $O_1A_1 \parallel OA$, то углы $\angle SO_1A_1$ и $\angle SOA$ являются соответственными при параллельных прямых и секущей $SO$. Однако, более строгий подход - рассмотреть углы при секущей $SA$: $\angle SA_1O_1 = \angle SAO$ (как соответственные углы при параллельных прямых $O_1A_1$ и $OA$ и секущей $SA$).

Таким образом, треугольник $\triangle SO_1A_1$ подобен треугольнику $\triangle SOA$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $ \frac{SO_1}{SO} = \frac{SA_1}{SA} = \frac{O_1A_1}{OA} $

Подставляя наши обозначения для длин высоты и образующей, получаем: $ \frac{H_1}{H} = \frac{L_1}{L} $

Это равенство и есть математическое выражение искомого свойства. Так как образующая $SA$ была выбрана произвольно, это свойство справедливо для всех образующих конуса.

Ответ: Плоскость, параллельная основанию конуса, делит высоту и все образующие конуса на пропорциональные отрезки, если считать от вершины. Это означает, что отношение отрезка высоты от вершины до секущей плоскости ($H_1$) к полной высоте ($H$) равно отношению отрезка любой образующей от вершины до секущей плоскости ($L_1$) к полной длине этой образующей ($L$): $ \frac{H_1}{H} = \frac{L_1}{L} $.