Номер 14, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

14. Сформулируйте признак касательной плоскости конуса.

14.

Для формулировки признака касательной плоскости конуса необходимо определить ключевые понятия. Конус — это геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью основания. Коническая поверхность образуется движением прямой линии (образующей), проходящей через фиксированную точку (вершину), при этом другая точка образующей перемещается по заданной кривой (направляющей), лежащей в плоскости основания. В частном, но наиболее распространенном случае, рассматривается прямой круговой конус, где основанием является круг, а вершина проецируется в его центр.

Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, которая имеет с конической поверхностью ровно одну общую образующую.

Теорема (признак и свойство касательной плоскости конуса):

Плоскость является касательной к конусу тогда и только тогда, когда она проходит через образующую конуса, а ее линия пересечения с плоскостью основания является касательной к окружности основания в той точке, где эта образующая пересекает основание.

Доказательство:

Пусть дан круговой конус с вершиной в точке $S$ и основанием — окружностью, лежащей в плоскости $\beta$. Пусть $M$ — произвольная точка на этой окружности, тогда $SM$ — образующая конуса.

1. Необходимость (свойство).
Пусть плоскость $\alpha$ касается конуса по образующей $SM$. Докажем, что линия пересечения $l$ плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $\beta$ является касательной к окружности основания в точке $M$. Допустим, это не так. Тогда прямая $l$, проходящая через точку $M$, пересекает окружность основания еще в одной точке $M_1$. Поскольку точка $M_1$ лежит на окружности основания, прямая $SM_1$ является образующей конуса. Так как точки $S$ и $M_1$ принадлежат плоскости $\alpha$ (точка $S$ принадлежит образующей $SM \subset \alpha$, а точка $M_1$ принадлежит прямой $l \subset \alpha$), то и вся образующая $SM_1$ лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскость $\alpha$ имеет с конусом две общие образующие: $SM$ и $SM_1$, что противоречит определению касательной плоскости. Таким образом, исходное предположение неверно, и прямая $l$ касается окружности основания в единственной точке $M$.

2. Достаточность (признак).
Пусть плоскость $\alpha$ проходит через образующую $SM$, и ее линия пересечения $l$ с плоскостью основания $\beta$ касается окружности основания в точке $M$. Докажем, что $\alpha$ является касательной к конусу. Предположим, что плоскость $\alpha$ имеет с конусом еще одну общую точку $P$, не лежащую на образующей $SM$. Эта точка $P$ должна принадлежать какой-то другой образующей $SN$, где $N$ — точка на окружности основания, причем $N \neq M$. Если точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$, то и вся образующая $SN$ должна лежать в плоскости $\alpha$ (так как $S \in SM \subset \alpha$). Это означает, что точка $N$ также должна принадлежать плоскости $\alpha$. Но точка $N$ также лежит и в плоскости основания $\beta$. Следовательно, точка $N$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть на прямой $l$. Однако по условию прямая $l$ является касательной к окружности в точке $M$ и, следовательно, имеет с ней только одну общую точку — $M$. Поскольку $N \neq M$, точка $N$ не может лежать на прямой $l$. Мы пришли к противоречию. Это означает, что у плоскости $\alpha$ и конуса нет других общих точек, кроме точек образующей $SM$. Таким образом, плоскость $\alpha$ является касательной к конусу.

Ответ: Признак касательной плоскости конуса заключается в следующем: если плоскость проходит через образующую конуса и ее линия пересечения с плоскостью основания является касательной к окружности основания в точке пересечения с этой образующей, то данная плоскость является касательной к конусу.