Номер 215, страница 38 - гдз по химии 11 класс сборник задач Хвалюк, Резяпкин

215. Период полураспада нуклида $^{\text{131}}\text{I}$ равен 8 суток. Какая доля атомов этого нуклида распадётся через 24 суток?

Дано:

Период полураспада нуклида ${}^{131}\text{I}$, $T = 8$ суток

Время, $t = 24$ суток

Перевод в СИ:

$T = 8 \text{ суток} = 8 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 691200 \text{ с}$

$t = 24 \text{ суток} = 24 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 2073600 \text{ с}$

Найти:

Долю распавшихся атомов, $\frac{\Delta N}{N_0}$.

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает количество нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$ через начальное количество ядер $N_0$ и период полураспада $T$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

Чтобы найти долю оставшихся атомов, разделим обе части уравнения на $N_0$:

$\frac{N(t)}{N_0} = 2^{-\frac{t}{T}}$

Подставим данные из условия задачи. Так как и время $t$, и период полураспада $T$ даны в сутках, их отношение $\frac{t}{T}$ является безразмерной величиной, поэтому переводить единицы в систему СИ для данного расчета не требуется.

$\frac{N(t)}{N_0} = 2^{-\frac{24 \text{ суток}}{8 \text{ суток}}} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Это доля атомов, которые остались нераспавшимися по прошествии 24 суток. Вопрос задачи состоит в том, какая доля атомов распалась. Количество распавшихся атомов $\Delta N$ равно разности между начальным количеством $N_0$ и оставшимся количеством $N(t)$:

$\Delta N = N_0 - N(t)$

Чтобы найти долю распавшихся атомов, разделим это выражение на $N_0$:

$\frac{\Delta N}{N_0} = \frac{N_0 - N(t)}{N_0} = 1 - \frac{N(t)}{N_0}$

Теперь подставим вычисленное значение доли оставшихся атомов:

$\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Таким образом, через 24 суток распадется $\frac{7}{8}$ от начального числа атомов нуклида.

Ответ: распадется доля атомов, равная $\frac{7}{8}$.