Номер 218, страница 39 - гдз по химии 11 класс сборник задач Хвалюк, Резяпкин

218. Какая масса алюминия-28 превратится в атомы другого химического элемента в результате радиоактивного распада за 11 минут в образце, содержащем 200 мг нуклида $^{28}\text{Al}$, если период его полураспада равен 2,2 минуты?

Дано:

Начальная масса нуклида $^{28}Al$: $m_0 = 200 \text{ мг}$

Время: $t = 11 \text{ минут}$

Период полураспада $^{28}Al$: $T = 2.2 \text{ минуты}$

$m_0 = 200 \cdot 10^{-6} \text{ кг} = 2 \cdot 10^{-4} \text{ кг}$

$t = 11 \cdot 60 \text{ с} = 660 \text{ с}$

$T = 2.2 \cdot 60 \text{ с} = 132 \text{ с}$

Найти:

Массу распавшегося алюминия-28: $\Delta m$.

Решение:

Закон радиоактивного распада позволяет определить массу $m(t)$ нераспавшегося вещества в момент времени $t$. Формула имеет вид:

$m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

Здесь $m_0$ — это начальная масса вещества, а $T$ — период его полураспада.

Масса вещества, которая распалась, то есть превратилась в атомы другого химического элемента ($\Delta m$), вычисляется как разность между начальной массой и массой, оставшейся к моменту времени $t$:

$\Delta m = m_0 - m(t) = m_0 - m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} = m_0 \left(1 - 2^{-\frac{t}{T}}\right)$

Поскольку время $t$ и период полураспада $T$ даны в одинаковых единицах (минутах), их можно подставлять в формулу без предварительного перевода в систему СИ, так как их отношение $\frac{t}{T}$ является безразмерной величиной.

Вычислим, сколько периодов полураспада прошло за указанное время:

$\frac{t}{T} = \frac{11 \text{ минут}}{2.2 \text{ минуты}} = 5$

Таким образом, прошло ровно 5 периодов полураспада.

Теперь можно рассчитать массу распавшегося алюминия, подставив известные значения в выведенную формулу:

$\Delta m = 200 \text{ мг} \cdot \left(1 - 2^{-5}\right) = 200 \cdot \left(1 - \frac{1}{32}\right) = 200 \cdot \frac{31}{32}$

$\Delta m = \frac{6200}{32} = 193.75 \text{ мг}$

Можно было также сначала найти массу оставшегося вещества, а затем вычесть её из начальной массы:

Масса оставшегося алюминия: $m(t) = 200 \text{ мг} \cdot 2^{-5} = 200 \cdot \frac{1}{32} = 6.25 \text{ мг}$.

Масса распавшегося алюминия: $\Delta m = m_0 - m(t) = 200 \text{ мг} - 6.25 \text{ мг} = 193.75 \text{ мг}$.

Ответ: масса алюминия-28, которая превратится в атомы другого химического элемента, составляет 193,75 мг.