Номер 217, страница 39 - гдз по химии 11 класс сборник задач Хвалюк, Резяпкин

217. В образце содержится $12.04 \cdot 10^{21}$ атомов нуклида ${}^{137}\text{Cs}$, имеющего период полураспада 30,2 года. Через какое время в образце останется $3.01 \cdot 10^{21}$ атомов ${}^{137}\text{Cs}$?

Дано:

Начальное количество атомов нуклида $^{137}\text{Cs}$, $N_0 = 12,04 \cdot 10^{21}$

Конечное количество атомов нуклида $^{137}\text{Cs}$, $N = 3,01 \cdot 10^{21}$

Период полураспада $^{137}\text{Cs}$, $T = 30,2$ года

Найти:

Время $t$, через которое в образце останется $N$ атомов.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом радиоактивного распада, который связывает количество нераспавшихся атомов с начальным количеством, временем и периодом полураспада:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

где $N(t)$ – количество нераспавшихся атомов в момент времени $t$, $N_0$ – начальное количество атомов, $T$ – период полураспада.

Чтобы найти время $t$, сначала выразим отношение $\frac{N}{N_0}$ из формулы:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-t/T}$

Подставим в это соотношение данные из условия задачи:

$\frac{3,01 \cdot 10^{21}}{12,04 \cdot 10^{21}} = \frac{3,01}{12,04} = \frac{1}{4}$

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$\frac{1}{4} = 2^{-t/T}$

Представим число $\frac{1}{4}$ как степень с основанием 2:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь мы можем приравнять показатели степеней, так как основания у них одинаковы (равны 2):

$2^{-2} = 2^{-t/T}$

$-2 = -\frac{t}{T}$

Отсюда выражаем искомое время $t$:

$t = 2 \cdot T$

Подставляем значение периода полураспада $T = 30,2$ года:

$t = 2 \cdot 30,2 = 60,4$ года.

Ответ: через 60,4 года в образце останется $3,01 \cdot 10^{21}$ атомов $^{137}\text{Cs}$.