Номер 47, страница 11 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

47. В 10 часов с некоторой станции вышел грузовой поезд и пошёл со скоростью 42 км/ч. В 11 часов с той же станции и в том же направлении вышел пассажирский поезд со скоростью 49 км/ч. Какой длины участок железной дороги отделяет станцию отправления от станции, где грузовой поезд пропустит вперёд пассажирский?

Для решения задачи нужно найти расстояние от станции отправления до точки, в которой пассажирский поезд догонит грузовой. Именно в этой точке грузовой поезд сможет пропустить вперёд пассажирский.

1. Определим, какое расстояние проехал грузовой поезд до выезда пассажирского. Грузовой поезд выехал в 10:00, а пассажирский — в 11:00, то есть на 1 час позже. За этот час грузовой поезд, двигаясь со скоростью 42 км/ч, преодолел расстояние:
$S_{фора} = V_{груз} \times t_{фора} = 42 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 42 \text{ км}$

2. В 11:00, когда пассажирский поезд тронулся, грузовой поезд был впереди на 42 км. Поскольку пассажирский поезд движется быстрее, он будет сокращать это расстояние. Найдем скорость сближения поездов, которая равна разности их скоростей:
$V_{сбл} = V_{пасс} - V_{груз} = 49 \text{ км/ч} - 42 \text{ км/ч} = 7 \text{ км/ч}$

3. Теперь вычислим, сколько времени потребуется пассажирскому поезду, чтобы догнать грузовой. Для этого разделим начальное расстояние между ними на скорость сближения:
$t_{встречи} = \frac{S_{фора}}{V_{сбл}} = \frac{42 \text{ км}}{7 \text{ км/ч}} = 6 \text{ часов}$

4. Поезда встретятся через 6 часов после отправления пассажирского поезда. Чтобы найти, на каком расстоянии от станции отправления это произойдет, умножим скорость пассажирского поезда на время его движения до встречи:
$S = V_{пасс} \times t_{встречи} = 49 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 294 \text{ км}$

Для проверки можно сделать расчет и для грузового поезда. Он был в пути на 1 час дольше, то есть $1 \text{ час} + 6 \text{ часов} = 7 \text{ часов}$.
$S = V_{груз} \times t_{общ} = 42 \text{ км/ч} \times 7 \text{ ч} = 294 \text{ км}$
Расстояние совпало, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 294 км.