Номер 2, страница 89 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

2. Имеется 10 мешков с монетами (количество монет в каждом мешке одинаковое). В девяти мешках монеты золотые, а в одном — фальшивые. Масса настоящей золотой монеты 5 г, а масса фальшивой — 4 г. Как за одно взвешивание на весах (весы взвешивают с точностью до грамма) определить, в каком из мешков монеты фальшивые?

Для того чтобы определить мешок с фальшивыми монетами за одно взвешивание, необходимо использовать метод, при котором результат взвешивания напрямую укажет на номер этого мешка. Вот пошаговый алгоритм решения:

1. Пронумеруйте мешки. Присвойте каждому из десяти мешков уникальный номер от 1 до 10.
2. Отберите монеты для взвешивания. Возьмите из каждого мешка количество монет, равное его порядковому номеру.
   • Из мешка №1 возьмите 1 монету.
   • Из мешка №2 возьмите 2 монеты.
   • Из мешка №3 возьмите 3 монеты.
   • ...и так далее, до мешка №10, из которого нужно взять 10 монет.
3. Проведите взвешивание. Положите все отобранные монеты на весы и измерьте их общую массу. Общее количество монет на весах будет равно сумме чисел от 1 до 10: $1 + 2 + 3 + ... + 10 = \frac{10 \times (10+1)}{2} = 55$ монет.
4. Рассчитайте эталонную массу. Вычислите, какой была бы общая масса, если бы все 55 монет были настоящими (золотыми). Масса одной настоящей монеты — 5 г.
   Эталонная масса: $55 \text{ монет} \times 5 \text{ г/монета} = 275 \text{ г}$.
5. Проанализируйте результат. Реальная масса, показанная весами, будет меньше эталонной, так как в одном из мешков монеты фальшивые. Каждая фальшивая монета на 1 грамм легче настоящей ($5 \text{ г} - 4 \text{ г} = 1 \text{ г}$). Разница между эталонной массой (275 г) и фактической массой укажет на номер мешка с фальшивыми монетами.
   • Если фальшивые монеты в мешке №1, то на весах окажется 1 фальшивая монета. Общая масса будет меньше эталонной на 1 г: $275 - 1 = 274$ г.
   • Если фальшивые монеты в мешке №2, то на весах окажется 2 фальшивые монеты. Общая масса будет меньше эталонной на 2 г: $275 - 2 = 273$ г.
   • ...
   • Если фальшивые монеты в мешке №10, то на весах окажется 10 фальшивых монет. Общая масса будет меньше эталонной на 10 г: $275 - 10 = 265$ г.

Таким образом, номер мешка с фальшивыми монетами ($N$) можно найти по формуле:
$N = 275 - \text{Фактическая масса}$

Ответ: Нужно пронумеровать мешки от 1 до 10. Затем взять из мешка №1 одну монету, из мешка №2 — две монеты, и так далее до десятого мешка, из которого взять десять монет. Все эти монеты (всего 55 штук) нужно взвесить вместе. Эталонный вес, если бы все монеты были настоящими, составляет 275 г. Разница в граммах между 275 г и весом, который покажут весы, будет равна номеру мешка с фальшивыми монетами.