Номер 8, страница 88 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

8. Ваня, Дима и Антон могут одинаково быстро вскопать землю лопатой. Если любые два из этих мальчиков будут работать вместе, то справятся с работай за полтора часа. За какое время ребята вскопают тот же участок, если будут работать все трое вместе?

Обозначим всю работу по вскапыванию участка как $A=1$. Пусть $p$ — производительность (скорость работы) одного мальчика, то есть часть участка, которую он вскапывает за один час. По условию задачи, Ваня, Дима и Антон работают с одинаковой скоростью, следовательно, производительность каждого из них равна $p$.

Известно, что любые два мальчика, работая вместе, справляются с работой за полтора часа. Полтора часа — это $1,5$ часа. Когда двое мальчиков работают вместе, их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $P_2 = p + p = 2p$.

Объем работы ($A$) равен произведению общей производительности ($P$) на время ($t$). Используя эту зависимость ($A = P \times t$), составим уравнение для двух работающих мальчиков: $1 = (2p) \times 1,5$ $1 = 3p$

Из этого уравнения найдем производительность одного мальчика: $p = \frac{1}{3}$ Это означает, что один мальчик за один час вскапывает $\frac{1}{3}$ часть участка.

Теперь найдем время, за которое ребята вскопают тот же участок, если будут работать все трое вместе. Общая производительность трех мальчиков будет равна: $P_3 = p + p + p = 3p$

Подставим найденное значение $p$: $P_3 = 3 \times \frac{1}{3} = 1$ Таким образом, работая втроем, мальчики за час вскапывают весь участок целиком.

Время $t_3$, которое потребуется троим мальчикам для выполнения всей работы, равно: $t_3 = \frac{A}{P_3} = \frac{1}{1} = 1$ час.

Ответ: 1 час.