Номер 1, страница 87 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

1. На фирме работают 69 человек. Из них 45 знают английский язык, 33 — немецкий язык. Сколько сотрудников фирмы знают оба языка?

1. Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений для множеств. Пусть $A$ — это множество сотрудников, знающих английский язык, а $B$ — множество сотрудников, знающих немецкий язык. Нам нужно найти количество сотрудников, которые знают оба языка, то есть мощность пересечения этих множеств, обозначаемую как $|A \cap B|$.

Из условия задачи нам известно:

• Общее количество сотрудников в фирме: 69. В задачах такого типа обычно предполагается, что каждый сотрудник знает хотя бы один из указанных языков. Следовательно, общее число людей, знающих хотя бы один язык (мощность объединения множеств), равно 69. В математических терминах: $|A \cup B| = 69$.
• Количество сотрудников, знающих английский язык: $|A| = 45$.
• Количество сотрудников, знающих немецкий язык: $|B| = 33$.

Формула включений-исключений для двух множеств выглядит так:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Эта формула означает, что общее число элементов в двух множествах равно сумме их размеров минус размер их пересечения (так как элементы в пересечении были посчитаны дважды).

Мы можем выразить из этой формулы искомое значение $|A \cap B|$:

$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

Теперь подставим известные нам значения в формулу:

$|A \cap B| = 45 + 33 - 69$

Выполним вычисления:

$|A \cap B| = 78 - 69$

$|A \cap B| = 9$

Таким образом, 9 сотрудников фирмы знают оба языка.

Проверка:

• Знают только английский: $45 - 9 = 36$ человек.
• Знают только немецкий: $33 - 9 = 24$ человека.
• Знают оба языка: $9$ человек.

Всего сотрудников, знающих хотя бы один язык: $36 + 24 + 9 = 69$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 9.