Номер 9, страница 90 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. В XIX веке один учитель задал своим ученикам вычислить сумму всех целых чисел от единицы до ста. Компьютеров и калькуляторов тогда ещё не было, и ученики принялись добросовестно складывать числа. И только один ученик нашёл правильный ответ всего за несколько секунд. Им оказался Карл Фридрих Гаусс — будущий великий математик. Как он это сделал?

Эта известная история рассказывает о методе, который юный Карл Фридрих Гаусс использовал для быстрого нахождения суммы чисел. Вместо того чтобы последовательно складывать все числа от 1 до 100 ($1+2+3+\dots+100$), он заметил интересную закономерность.

Гаусс догадался сгруппировать числа в пары, складывая первое число с последним, второе с предпоследним и так далее. Он заметил, что сумма каждой такой пары одинакова:
$1 + 100 = 101$
$2 + 99 = 101$
$3 + 98 = 101$
...
$50 + 51 = 101$

Поскольку в ряду от 1 до 100 всего 100 чисел, из них можно составить ровно $100 / 2 = 50$ таких пар. Сумма каждой пары равна 101.

Чтобы найти общую сумму, нужно умножить сумму одной пары на количество пар:

$50 \times 101 = 5050$

Этот метод является наглядной демонстрацией формулы суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$. В данном случае $n = 100$ (количество чисел), $a_1 = 1$ (первое число), а $a_n = 100$ (последнее число). Подстановка этих значений в формулу дает тот же результат:

$S_{100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = \frac{10100}{2} = 5050$

Таким образом, Гаусс смог найти ответ за несколько секунд, применив этот элегантный и эффективный подход.

Ответ: 5050.