Номер 111, страница 175 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

111. У бабушки в июле гостили 4 внука, а в августе — 3. Всего же у бабушки 5 внуков. Может ли такое быть? Объясните ситуацию с помощью кругов Эйлера.

Может ли такое быть?

Да, такая ситуация вполне возможна. Это происходит в том случае, если некоторые из внуков гостили у бабушки и в июле, и в августе. Для доказательства воспользуемся математическим аппаратом теории множеств.

Пусть $И$ – это множество внуков, которые приехали в июле, а $А$ – множество внуков, приехавших в августе. Согласно условию задачи, мощности (количество элементов) этих множеств равны:

$|И| = 4$

$|А| = 3$

Всего у бабушки 5 внуков. Это означает, что общее число уникальных внуков, которые посетили бабушку за два месяца (это объединение множеств $И$ и $А$, то есть $И \cup А$), не может превышать 5. Математически это записывается как $|И \cup А| \le 5$.

Чтобы найти количество внуков, которые гостили в оба месяца (то есть пересечение множеств $И \cap А$), используем формулу включений-исключений:

$|И \cup А| = |И| + |А| - |И \cap А|$

Подставим в формулу известные нам значения:

$|И \cup А| = 4 + 3 - |И \cap А| = 7 - |И \cap А|$

Теперь, используя условие, что общее число внуков-гостей не больше 5, составим неравенство:

$7 - |И \cap А| \le 5$

Из этого неравенства найдем минимально возможное количество внуков, которые гостили в оба месяца:

$|И \cap А| \ge 7 - 5$

$|И \cap А| \ge 2$

Таким образом, для выполнения условий задачи необходимо, чтобы как минимум 2 внука гостили у бабушки и в июле, и в августе. Поскольку это логически и математически возможно, то и вся описанная ситуация реальна. Ответ: да, такая ситуация возможна.

Объясните ситуацию с помощью кругов Эйлера.

Ситуацию легко объяснить с помощью диаграммы (кругов) Эйлера. Нарисуем два пересекающихся круга. Первый круг (назовем его «Июль») будет символизировать множество из 4 внуков, гостивших в июле. Второй круг («Август») будет символизировать множество из 3 внуков, гостивших в августе. Вся диаграмма находится внутри прямоугольника, который олицетворяет универсальное множество всех 5 внуков бабушки.

Область, где круги пересекаются, представляет тех внуков, которые были у бабушки в оба месяца. Части кругов, которые не пересекаются, представляют внуков, которые были только в одном из месяцев.

Рассмотрим конкретный пример, основанный на нашем выводе, что в оба месяца гостили как минимум 2 внука. Допустим, их было ровно 2.

• В области пересечения кругов ($И \cap А$) находятся 2 внука.
• В части круга «Июль», не входящей в пересечение, находятся внуки, которые гостили только в июле. Их количество: $4 - 2 = 2$ внука.
• В части круга «Август», не входящей в пересечение, находятся внуки, которые гостили только в августе. Их количество: $3 - 2 = 1$ внук.

Теперь найдем общее количество уникальных внуков, которые приезжали к бабушке, сложив все группы:

$2$ (только в июле) $+ 1$ (только в августе) $+ 2$ (в оба месяца) $= 5$ внуков.

Полученное число в точности равно общему количеству внуков у бабушки. Это наглядно демонстрирует, как такая ситуация могла произойти: двое внуков были только в июле, один — только в августе, а еще двое гостили в оба летних месяца. Ответ: ситуация объясняется тем, что множества внуков, гостивших в разные месяцы, пересекаются. Как показывает расчет и диаграмма Эйлера, как минимум 2 внука должны были гостить у бабушки и в июле, и в августе.