Номер 112, страница 175 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

112. Среди 9 котят 6 пушистых и 5 серых. Сколько среди этих котят пушистых и серых одновременно?

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений. Нам нужно найти количество элементов в пересечении двух множеств (котята, которые и пушистые, и серые).

Дано:

• Всего котят: $9$
• Пушистых котят: $6$
• Серых котят: $5$

Если мы просто сложим количество пушистых и серых котят, мы получим общее число признаков, а не котят:

$6 + 5 = 11$

Мы видим, что сумма $11$ больше, чем общее количество котят $9$. Это означает, что некоторые котята были посчитаны дважды. Дважды были посчитаны именно те котята, которые обладают обоими признаками одновременно (и пушистые, и серые).

Чтобы найти количество таких котят, нужно из суммы $11$ вычесть общее количество котят $9$:

$11 - 9 = 2$

Следовательно, 2 котенка являются одновременно и пушистыми, и серыми.

Проверка с помощью формулы:

Пусть $A$ - множество пушистых котят, а $B$ - множество серых котят. Тогда количество котят, которые являются пушистыми или серыми (или и то, и другое), равно $|A \cup B|$. Количество котят, которые являются и пушистыми, и серыми, равно $|A \cap B|$.

Формула включений-исключений: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Поскольку общее число котят $9$, то $|A \cup B|$ не может быть больше $9$. Будем считать, что все котята либо пушистые, либо серые, т.е. $|A \cup B| = 9$.

Подставляем известные значения:

$9 = 6 + 5 - |A \cap B|$

$9 = 11 - |A \cap B|$

$|A \cap B| = 11 - 9 = 2$

Сколько среди этих котят пушистых и серых одновременно? Ответ: 2.