Номер 18, страница 254 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

18. Отметьте на координатной плоскости точки с координатами: $T(2; 4)$, $K(4; 0)$, $R(-1; 4)$, $S(1; -4)$. Постройте:

а) прямую $TK$; отметьте на прямой $TK$ точку $A$ с абсциссой 3 и определите её ординату; отметьте на прямой $TK$ точку $B$ с ординатой 1 и определите её абсциссу;

б) прямую $RT$; отметьте на этой прямой точку $C$ с абсциссой 5 и определите её ординату;

в) прямую $SC$; определите координаты точек, в которых прямая $SC$ пересекает оси координат и прямую $TK$.

Для решения задачи сначала найдем уравнения прямых, проходящих через заданные точки. Общее уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:

$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $

а) прямую ТК; отметьте на прямой ТК точку А с абсциссой 3 и определите ее ординату; отметьте на прямой ТК точку В с ординатой 1 и определите ее абсциссу;

Найдем уравнение прямой ТК, проходящей через точки T(2; 4) и K(4; 0).

$ \frac{y - 4}{0 - 4} = \frac{x - 2}{4 - 2} $

$ \frac{y - 4}{-4} = \frac{x - 2}{2} $

$ y - 4 = -2(x - 2) $

$ y - 4 = -2x + 4 $

$ y = -2x + 8 $

Найдем ординату точки А, если ее абсцисса $x_A = 3$. Подставим это значение в уравнение прямой:

$ y_A = -2 \cdot 3 + 8 = -6 + 8 = 2 $

Координаты точки А: (3; 2).

Найдем абсциссу точки В, если ее ордината $y_B = 1$. Подставим это значение в уравнение прямой:

$ 1 = -2x_B + 8 $

$ 2x_B = 8 - 1 $

$ 2x_B = 7 $

$ x_B = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} $

Координаты точки B: ($3\frac{1}{2}$; 1).

Ответ: ордината точки А равна 2; абсцисса точки B равна 3$ \frac{1}{2} $.

б) прямую RT; отметьте на этой прямой точку C с абсциссой 5 и определите ее ординату;

Найдем уравнение прямой RT, проходящей через точки R(-1; 4) и T(2; 4).

Так как ординаты точек R и T одинаковы и равны 4, то прямая RT является горизонтальной, параллельной оси абсцисс, и ее уравнение $y = 4$.

Для точки C с абсциссой $x_C = 5$, лежащей на этой прямой, ордината будет равна 4, то есть $y_C = 4$.

Координаты точки C: (5; 4).

Ответ: ордината точки C равна 4.

в) прямую SC; определите координаты точек, в которых прямая SC пересекает оси координат и прямую ТК.

Найдем уравнение прямой SC, проходящей через точки S(1; -4) и C(5; 4).

$ \frac{y - (-4)}{4 - (-4)} = \frac{x - 1}{5 - 1} $

$ \frac{y + 4}{8} = \frac{x - 1}{4} $

$ y + 4 = 2(x - 1) $

$ y = 2x - 2 - 4 $

$ y = 2x - 6 $

Найдем точку пересечения прямой SC с осью ординат (осью OY). В этой точке абсцисса $x = 0$.

$ y = 2 \cdot 0 - 6 = -6 $

Точка пересечения с осью OY имеет координаты (0; -6).

Найдем точку пересечения прямой SC с осью абсцисс (осью OX). В этой точке ордината $y = 0$.

$ 0 = 2x - 6 $

$ 2x = 6 $

$ x = 3 $

Точка пересечения с осью OX имеет координаты (3; 0).

Найдем точку пересечения прямых SC ($y = 2x - 6$) и TK ($y = -2x + 8$). Для этого решим систему уравнений, приравняв их правые части:

$ 2x - 6 = -2x + 8 $

$ 4x = 14 $

$ x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} $

Теперь подставим найденное значение x в любое из уравнений, чтобы найти y:

$ y = 2 \cdot (\frac{7}{2}) - 6 = 7 - 6 = 1 $

Точка пересечения прямых SC и TK имеет координаты ($3\frac{1}{2}$; 1).

Ответ: прямая SC пересекает ось ординат в точке (0; -6), ось абсцисс в точке (3; 0) и прямую TK в точке (3$ \frac{1}{2} $; 1).