Номер 17, страница 254 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

17. Используя координаты трёх вершин $A(-3; -5)$, $B(-3; 2)$ и $C(4; 2)$ прямоугольника $ABCD$:

а) начертите этот прямоугольник;

б) определите координаты точки $D$;

в) определите длины сторон прямоугольника.

а) начертите этот прямоугольник;

Для построения прямоугольника $ABCD$ на координатной плоскости выполним следующие шаги. Сначала отметим заданные точки $A(-3; -5)$, $B(-3; 2)$ и $C(4; 2)$.

Соединим точки отрезками. Отрезок $AB$ соединяет точки с одинаковой абсциссой $x=-3$, значит, он является вертикальным и параллелен оси $Oy$. Отрезок $BC$ соединяет точки с одинаковой ординатой $y=2$, значит, он является горизонтальным и параллелен оси $Ox$. Поскольку оси координат перпендикулярны, стороны $AB$ и $BC$ также перпендикулярны друг другу, образуя прямой угол $\angle ABC$.

Чтобы завершить построение прямоугольника, необходимо найти четвертую вершину $D$. Сторона $CD$ должна быть параллельна стороне $AB$ (вертикальная), а сторона $AD$ должна быть параллельна стороне $BC$ (горизонтальная). Для этого проведем через точку $C$ вертикальную прямую $x=4$ и через точку $A$ горизонтальную прямую $y=-5$. Точка их пересечения и будет искомой вершиной $D$.

б) определите координаты точки D;

Поскольку в прямоугольнике $ABCD$ стороны параллельны осям координат, то координаты четвертой вершины $D$ можно найти, используя координаты данных вершин.

Абсцисса (координата $x$) точки $D$ должна быть такой же, как и у точки $C$, так как сторона $CD$ параллельна оси $Oy$. Следовательно, $x_D = x_C = 4$.
Ордината (координата $y$) точки $D$ должна быть такой же, как и у точки $A$, так как сторона $AD$ параллельна оси $Ox$. Следовательно, $y_D = y_A = -5$.

Таким образом, координаты четвертой вершины $D$ равны $(4; -5)$.
Ответ: $D(4; -5)$.

в) определите длины сторон прямоугольника.

Длины сторон прямоугольника — это расстояния между его соседними вершинами. Найдем длины смежных сторон $AB$ и $BC$.

Длина стороны $AB$, концы которой $A(-3; -5)$ и $B(-3; 2)$, вычисляется как модуль разности их ординат, так как абсциссы одинаковы:
$|AB| = |y_B - y_A| = |2 - (-5)| = |2 + 5| = 7$.

Длина стороны $BC$, концы которой $B(-3; 2)$ и $C(4; 2)$, вычисляется как модуль разности их абсцисс, так как ординаты одинаковы:
$|BC| = |x_C - x_B| = |4 - (-3)| = |4 + 3| = 7$.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $|CD| = |AB| = 7$ и $|AD| = |BC| = 7$. Обе смежные стороны равны 7, следовательно, это квадрат.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 7 и 7.