Номер 13, страница 253 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

13. Постройте на координатной плоскости треугольник $ABC$, если известны координаты его вершин: $A(1; -4)$, $B(-3; 4)$, $C(6; 3)$. Запишите координаты точек, в которых стороны треугольника пересекают оси координат.

Для решения задачи сначала необходимо мысленно или на бумаге построить треугольник $ABC$ на координатной плоскости, отметив точки $A(1; -4)$, $B(-3; 4)$ и $C(6; 3)$ и соединив их отрезками.

Затем, для нахождения координат точек, в которых стороны треугольника пересекают оси координат, необходимо для каждой стороны найти уравнение прямой, на которой она лежит. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$. После нахождения уравнения, найдем точки пересечения с осями $Ox$ (когда $y=0$) и $Oy$ (когда $x=0$), проверив, принадлежат ли эти точки соответствующим сторонам (отрезкам).

Сторона AB
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(1; -4)$ и $B(-3; 4)$:$\frac{x - 1}{-3 - 1} = \frac{y - (-4)}{4 - (-4)} \implies \frac{x - 1}{-4} = \frac{y + 4}{8}$
$2(x - 1) = -(y + 4) \implies 2x - 2 = -y - 4 \implies y = -2x - 2$.
- Пересечение с осью Oy (при x=0): $y = -2(0) - 2 = -2$. Точка пересечения: $(0; -2)$.
- Пересечение с осью Ox (при y=0): $0 = -2x - 2 \implies 2x = -2 \implies x = -1$. Точка пересечения: $(-1; 0)$.
Обе точки принадлежат отрезку $AB$, так как их координаты лежат между соответствующими координатами вершин $A$ и $B$.
Ответ: $(0; -2)$ и $(-1; 0)$.

Сторона BC
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $B(-3; 4)$ и $C(6; 3)$:$\frac{x - (-3)}{6 - (-3)} = \frac{y - 4}{3 - 4} \implies \frac{x + 3}{9} = \frac{y - 4}{-1}$
$-(x + 3) = 9(y - 4) \implies -x - 3 = 9y - 36 \implies y = -\frac{1}{9}x + \frac{11}{3}$.
- Пересечение с осью Oy (при x=0): $y = -\frac{1}{9}(0) + \frac{11}{3} = \frac{11}{3}$. Координаты точки: $(0; \frac{11}{3})$. Эта точка принадлежит отрезку $BC$.
- Пересечение с осью Ox: Так как $y$-координаты точек $B$ ($y=4$) и $C$ ($y=3$) обе положительны, вся сторона $BC$ расположена выше оси $Ox$ и не пересекает ее.
Ответ: $(0; \textbf{3}\frac{2}{3})$.

Сторона AC
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(1; -4)$ и $C(6; 3)$:$\frac{x - 1}{6 - 1} = \frac{y - (-4)}{3 - (-4)} \implies \frac{x - 1}{5} = \frac{y + 4}{7}$
$7(x - 1) = 5(y + 4) \implies 7x - 7 = 5y + 20 \implies y = \frac{7}{5}x - \frac{27}{5}$.
- Пересечение с осью Oy: Так как $x$-координаты точек $A$ ($x=1$) и $C$ ($x=6$) обе положительны, вся сторона $AC$ расположена правее оси $Oy$ и не пересекает ее.
- Пересечение с осью Ox (при y=0): $0 = \frac{7}{5}x - \frac{27}{5} \implies 7x = 27 \implies x = \frac{27}{7}$. Координаты точки: $(\frac{27}{7}; 0)$. Эта точка принадлежит отрезку $AC$.
Ответ: $(\textbf{3}\frac{6}{7}; 0)$.