Номер 30, страница 282 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

30. Радиус окружности увеличили на 1 дм. На сколько сантиметров увеличилась при этом длина окружности?

Для решения задачи воспользуемся формулой длины окружности: $C = 2 \pi r$, где $C$ — длина окружности, $r$ — ее радиус, а $\pi$ — математическая константа.

Пусть начальный радиус окружности был равен $r_1$. Тогда ее начальная длина $C_1$ составляла:

$C_1 = 2 \pi r_1$

По условию, радиус увеличили на 1 дм. Так как вопрос стоит о сантиметрах, переведем увеличение радиуса в сантиметры:

$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$

Новый радиус $r_2$ стал равен:

$r_2 = r_1 + 10 \text{ см}$

Новая длина окружности $C_2$ с новым радиусом $r_2$ вычисляется как:

$C_2 = 2 \pi r_2 = 2 \pi (r_1 + 10)$

Чтобы найти, на сколько увеличилась длина окружности, найдем разность между новой и старой длиной ($\Delta C = C_2 - C_1$):

$\Delta C = 2 \pi (r_1 + 10) - 2 \pi r_1$

Раскроем скобки в выражении:

$\Delta C = 2 \pi r_1 + 2 \pi \cdot 10 - 2 \pi r_1$

Как видно из выражения, члены $2 \pi r_1$ и $-2 \pi r_1$ взаимно уничтожаются:

$\Delta C = 20 \pi \text{ см}$

Таким образом, увеличение длины окружности составляет $20 \pi$ см и не зависит от первоначального радиуса. Для получения численного ответа примем значение $\pi \approx \frac{22}{7}$:

$\Delta C \approx 20 \cdot \frac{22}{7} = \frac{440}{7} \text{ см}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть. Для этого разделим числитель 440 на знаменатель 7:

$440 \div 7 = 62 \text{ и } 6 \text{ в остатке}$

Следовательно, $\frac{440}{7} = 62\frac{6}{7}$.

Ответ: длина окружности увеличилась на 62$\frac{6}{7}$ см.