Номер 95, страница 297 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

95. Начертите в тетради отрезок $BD$ и отметьте точку $C$ вне этого отрезка. Постройте отрезок $B_1D_1$, симметричный отрезку $BD$ относительно точки $C$. Сравните длины отрезков $BD$ и $B_1D_1$.

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Начертим произвольный отрезок $BD$ и точку $C$, которая не лежит на этом отрезке.

2. Для построения точки $B_1$, симметричной точке $B$ относительно центра $C$, проведём луч, начинающийся в точке $B$ и проходящий через точку $C$. На этом луче за точкой $C$ отложим отрезок $CB_1$, равный по длине отрезку $BC$. Точка $C$ будет являться серединой отрезка $BB_1$.

3. Аналогично построим точку $D_1$, симметричную точке $D$. Проведём луч из точки $D$ через точку $C$ и на его продолжении за точкой $C$ отложим отрезок $CD_1$, равный по длине отрезку $DC$.

4. Соединим точки $B_1$ и $D_1$. Полученный отрезок $B_1D_1$ является симметричным отрезку $BD$ относительно точки $C$.

Ответ: построение отрезка $B_1D_1$ выполнено.

Центральная симметрия является движением, то есть преобразованием, которое сохраняет расстояния между точками. Это означает, что отрезок $BD$ при симметрии относительно точки $C$ отображается в равный ему отрезок $B_1D_1$.

Докажем это утверждение, рассмотрев треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle B_1CD_1$.

В этих треугольниках:
- сторона $BC$ равна стороне $B_1C$ по определению симметрии (по построению);
- сторона $DC$ равна стороне $D_1C$ также по построению;
- угол $\angle BCD$ равен углу $\angle B_1CD_1$, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $BB_1$ и $DD_1$.

Следовательно, $\triangle BCD = \triangle B_1CD_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, а именно $BD = B_1D_1$.

Ответ: длины отрезков $BD$ и $B_1D_1$ равны.