Номер 102, страница 299 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

102. Постройте прямоугольник, симметричный прямоугольнику $ABCD$ относительно прямой:

a) $AB$;

б) $BC$;

в) $AC$;

г) $BD$.

Осевая симметрия — это отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что отрезок $MM'$ перпендикулярен оси симметрии $l$ и делится ею пополам. Точки, лежащие на оси симметрии, отображаются сами в себя. Так как осевая симметрия является движением, она сохраняет расстояния и углы, поэтому образом прямоугольника будет равный ему прямоугольник.

а) AB;

Построим прямоугольник, симметричный прямоугольнику $ABCD$ относительно прямой $AB$.

1. Точки $A$ и $B$ лежат на оси симметрии, следовательно, они отображаются сами в себя. То есть, $A'$ совпадает с $A$, а $B'$ совпадает с $B$.

2. Для нахождения точки $D'$, симметричной точке $D$, воспользуемся тем, что в прямоугольнике сторона $AD$ перпендикулярна стороне $AB$. Таким образом, перпендикуляр из точки $D$ к прямой $AB$ — это отрезок $DA$. Продолжим его за точку $A$ и отложим отрезок $AD'$, равный $AD$.

3. Аналогично, для нахождения точки $C'$, симметричной точке $C$, используем перпендикулярность сторон $BC$ и $AB$. Перпендикуляр из точки $C$ к прямой $AB$ — это отрезок $CB$. Продолжим его за точку $B$ и отложим отрезок $BC'$, равный $BC$.

4. Полученные точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ (то есть $A$, $B$, $C'$, $D'$) являются вершинами искомого прямоугольника $ABC'D'$.

Ответ: В результате построения получится прямоугольник $ABC'D'$, который равен исходному прямоугольнику $ABCD$ и имеет с ним общую сторону $AB$.

б) BC;

Построим прямоугольник, симметричный прямоугольнику $ABCD$ относительно прямой $BC$.

1. Точки $B$ и $C$ лежат на оси симметрии, поэтому они отображаются сами в себя: $B' = B$, $C' = C$.

2. Сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$ (оси симметрии). Для нахождения точки $A'$, симметричной точке $A$, продолжим отрезок $AB$ за точку $B$ и отложим отрезок $BA'$, равный $AB$.

3. Сторона $DC$ перпендикулярна стороне $BC$. Для нахождения точки $D'$, симметричной точке $D$, продолжим отрезок $DC$ за точку $C$ и отложим отрезок $CD'$, равный $DC$.

4. Соединив точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ (то есть $A'$, $B$, $C$, $D'$), получим искомый прямоугольник $A'BCD'$.

Ответ: В результате построения получится прямоугольник $A'BCD'$, который равен исходному прямоугольнику $ABCD$ и имеет с ним общую сторону $BC$.

в) AC;

Построим прямоугольник, симметричный прямоугольнику $ABCD$ относительно прямой $AC$, содержащей его диагональ.

1. Точки $A$ и $C$ лежат на оси симметрии, поэтому они отображаются сами в себя: $A' = A$, $C' = C$.

2. Для нахождения точки $B'$, симметричной точке $B$, проведем через точку $B$ прямую, перпендикулярную прямой $AC$. Пусть $H_B$ — точка их пересечения. На продолжении отрезка $BH_B$ за точку $H_B$ отложим отрезок $H_B B'$, равный $BH_B$.

3. Аналогично для точки $D$: проведем через $D$ прямую, перпендикулярную $AC$, и на ее продолжении за точку пересечения $H_D$ отложим отрезок $H_D D'$, равный $DH_D$.

4. Полученные точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ (то есть $A$, $B'$, $C$, $D'$) являются вершинами искомого прямоугольника $AB'CD'$.

Ответ: В результате построения получится прямоугольник $AB'CD'$, который равен исходному прямоугольнику $ABCD$ и имеет с ним общую диагональ $AC$.

г) BD.

Построим прямоугольник, симметричный прямоугольнику $ABCD$ относительно прямой $BD$, содержащей его другую диагональ.

1. Точки $B$ и $D$ лежат на оси симметрии, поэтому они отображаются сами в себя: $B' = B$, $D' = D$.

2. Для нахождения точки $A'$, симметричной точке $A$, проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $BD$. Пусть $H_A$ — точка их пересечения. На продолжении отрезка $AH_A$ за точку $H_A$ отложим отрезок $H_A A'$, равный $AH_A$.

3. Аналогично для точки $C$: проведем через $C$ прямую, перпендикулярную $BD$, и на ее продолжении за точку пересечения $H_C$ отложим отрезок $H_C C'$, равный $CH_C$.

4. Полученные точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ (то есть $A'$, $B$, $C'$, $D$) являются вершинами искомого прямоугольника $A'BC'D$.

Ответ: В результате построения получится прямоугольник $A'BC'D$, который равен исходному прямоугольнику $ABCD$ и имеет с ним общую диагональ $BD$.