Номер 97, страница 297 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

97. Постройте прямоугольник $ABCD$ и прямоугольник, симметричный ему относительно:

а) вершины $D$;

б) точки $T$ — середины стороны $AD$.

Для решения задачи построим произвольный прямоугольник $ABCD$ и выполним построения для каждого случая.

а) вершины $D$; Чтобы построить прямоугольник, симметричный прямоугольнику $ABCD$ относительно вершины $D$, необходимо для каждой вершины исходного прямоугольника ($A, B, C, D$) найти симметричную ей точку ($A', B', C', D'$) относительно центра симметрии — точки $D$.
1. Точка, симметричная центру симметрии, совпадает с ним самим. Таким образом, вершина $D'$ нового прямоугольника совпадает с вершиной $D$ исходного: $D' = D$.
2. Для построения точки $A'$, симметричной точке $A$ относительно $D$, проводим луч $AD$ и откладываем на нем от точки $D$ отрезок $DA'$, равный отрезку $AD$. Точка $D$ является серединой отрезка $AA'$.
3. Аналогично строим точку $C'$, симметричную $C$. Проводим луч $CD$ и откладываем на нем от точки $D$ отрезок $DC'$, равный отрезку $CD$. Точка $D$ является серединой отрезка $CC'$.
4. Вершина $B'$ симметрична вершине $B$ относительно $D$. Это означает, что $D$ — середина диагонали $BB'$.
5. Соединив точки $A', B', C', D'$, получаем искомый прямоугольник $A'B'C'D'$. Этот прямоугольник равен исходному прямоугольнику $ABCD$ и имеет с ним одну общую вершину $D$. На рисунке слева исходный прямоугольник $ABCD$ показан синим цветом, а симметричный ему прямоугольник $A'B'C'D'$ — красным.
Ответ: искомый прямоугольник $A'B'C'D'$ построен, он имеет общую вершину $D$ с исходным прямоугольником $ABCD$ и является его образом при повороте на $180^\circ$ вокруг точки $D$.

б) точки $T$ — середины стороны $AD$. Чтобы построить прямоугольник, симметричный $ABCD$ относительно точки $T$, которая является серединой стороны $AD$, необходимо построить точки $A', B', C', D'$, симметричные вершинам $A, B, C, D$ соответственно. Центр симметрии — точка $T$.
1. Так как $T$ — середина отрезка $AD$, то точка, симметричная $A$ относительно $T$, это точка $D$. Таким образом, $A' = D$.
2. Аналогично, точка, симметричная $D$ относительно $T$, это точка $A$. Таким образом, $D' = A$.
3. Для построения точки $B'$, симметричной $B$ относительно $T$, проводим прямую через точки $B$ и $T$ и откладываем на ней от точки $T$ отрезок $TB'$, равный отрезку $BT$, в направлении, противоположном лучу $TB$. Точка $T$ является серединой отрезка $BB'$.
4. Аналогично строим точку $C'$, симметричную $C$ относительно $T$. Точка $T$ является серединой отрезка $CC'$.
5. Соединив точки $A', B', C', D'$ в том же порядке, получаем искомый прямоугольник $A'B'C'D'$, который в данном случае является прямоугольником $DB'C'A$. Этот прямоугольник равен исходному, а их объединение образует новый, больший прямоугольник. На рисунке справа исходный прямоугольник $ABCD$ показан синим цветом, а симметричный ему прямоугольник $A'B'C'D'$ ($DB'C'A$) — красным.
Ответ: искомый прямоугольник $A'B'C'D'$ построен, он имеет общую сторону с исходным прямоугольником $ABCD$, так как его сторона $A'D'$ совпадает со стороной $DA$ исходного прямоугольника.