Номер 15, страница 68 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

15. Приведите примеры двух множеств $A$ и $B$ таких, чтобы их объединением было множество $T = \{3, 9, 27, 81, 243\}$, а пересечением — множество $N = \{9, 81\}$.

Для решения этой задачи необходимо использовать определения объединения и пересечения множеств.

• Объединение двух множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \cup B$, — это множество, которое включает в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств (то есть, все элементы из $A$ и все элементы из $B$).
• Пересечение двух множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \cap B$, — это множество, которое включает в себя только те элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно.

По условию задачи нам даны:

• Объединение: $A \cup B = T = \{3, 9, 27, 81, 243\}$
• Пересечение: $A \cap B = N = \{9, 81\}$

Начнем построение множеств $A$ и $B$ с их пересечения. Элементы из пересечения $N = \{9, 81\}$ по определению должны присутствовать в обоих множествах. Таким образом, мы можем сразу записать:

$A = \{9, 81, \dots\}$

$B = \{9, 81, \dots\}$

Теперь рассмотрим элементы, которые входят в объединение $T$, но не входят в пересечение $N$. Для этого найдем разность множеств $T \setminus N$:

$T \setminus N = \{3, 9, 27, 81, 243\} \setminus \{9, 81\} = \{3, 27, 243\}$

Элементы $\{3, 27, 243\}$ должны находиться в объединении, но не в пересечении. Это значит, что каждый из этих элементов должен принадлежать либо множеству $A$, либо множеству $B$, но не обоим сразу. Нам нужно распределить эти три элемента между двумя множествами.

Существует несколько способов это сделать. Приведем один из возможных примеров.

Распределим элементы так: элемент $\{3\}$ добавим в множество $A$, а элементы $\{27, 243\}$ добавим в множество $B$.

Тогда множества примут следующий вид:

• $A = \{9, 81\} \cup \{3\} = \{3, 9, 81\}$
• $B = \{9, 81\} \cup \{27, 243\} = \{9, 27, 81, 243\}$

Проверим, удовлетворяют ли полученные множества исходным условиям:

1. Проверка объединения:
   $A \cup B = \{3, 9, 81\} \cup \{9, 27, 81, 243\} = \{3, 9, 27, 81, 243\}$
   Полученное множество совпадает с $T$. Условие выполнено.
2. Проверка пересечения:
   $A \cap B = \{3, 9, 81\} \cap \{9, 27, 81, 243\} = \{9, 81\}$
   Полученное множество совпадает с $N$. Условие выполнено.

Так как оба условия выполняются, найденная пара множеств является правильным решением.

Ответ: Примером таких множеств могут быть $A = \{3, 9, 81\}$ и $B = \{9, 27, 81, 243\}$. (Существуют и другие правильные ответы, например, $A' = \{3, 9, 27, 81\}$ и $B' = \{9, 81, 243\}$).