Номер 10, страница 67 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

10. Найдите множества A, B, C, если:

а) $A \cap B = \{3\}$;

б) $B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5\}$;

в) $A \cap C = \{4\}$;

г) $A \setminus B = \{4\}$;

д) $A \cap (B \cup C) = \{3, 4\}$.

Для нахождения множеств A, B и C воспользуемся предоставленными условиями, последовательно анализируя их.

1. Нахождение множества A

Для определения множества A мы можем использовать два условия:

• а) $A \cap B = \{3\}$ (Пересечение A и B содержит только элемент 3)
• г) $A \setminus B = \{4\}$ (Разность A и B, то есть элементы, которые есть в A, но нет в B, это только 4)

Любое множество A можно представить как объединение двух непересекающихся частей: элементов, которые также находятся в B ($A \cap B$), и элементов, которых в B нет ($A \setminus B$).

Таким образом, мы можем записать:$A = (A \cap B) \cup (A \setminus B)$

Подставим известные значения из условий а) и г):$A = \{3\} \cup \{4\}$$A = \{3, 4\}$

Итак, множество A однозначно определено: $A = \{3, 4\}$.

2. Нахождение множеств B и C

Теперь, когда мы знаем множество A, мы можем уточнить свойства множеств B и C.

Из условия а) $A \cap B = \{3\}$ и зная, что $A = \{3, 4\}$, мы получаем:$\{3, 4\} \cap B = \{3\}$. Это означает, что $3 \in B$, но $4 \notin B$.

Из условия в) $A \cap C = \{4\}$ и зная, что $A = \{3, 4\}$, мы получаем:$\{3, 4\} \cap C = \{4\}$. Это означает, что $4 \in C$, но $3 \notin C$.

Теперь используем условие б) $B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

• Мы знаем, что элемент 3 должен быть в этом объединении. Так как $3 \in B$ и $3 \notin C$, он привнесен множеством B.
• Мы знаем, что элемент 4 должен быть в этом объединении. Так как $4 \in C$ и $4 \notin B$, он привнесен множеством C.
• Остальные элементы объединения — $\{1, 2, 5\}$ — должны принадлежать либо B, либо C, либо обоим множествам.

Условия не накладывают строгих ограничений на распределение элементов $\{1, 2, 5\}$. Однако, мы можем найти конкретные множества B и C, которые удовлетворяют всем пяти условиям. Рассмотрим один из возможных вариантов, который является решением задачи:

Пусть $B = \{1, 2, 3\}$ и $C = \{4, 5\}$.

Давайте проверим, удовлетворяет ли это решение всем исходным условиям:

• а) $A \cap B = \{3, 4\} \cap \{1, 2, 3\} = \{3\}$. Условие выполнено.
• б) $B \cup C = \{1, 2, 3\} \cup \{4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Условие выполнено.
• в) $A \cap C = \{3, 4\} \cap \{4, 5\} = \{4\}$. Условие выполнено.
• г) $A \setminus B = \{3, 4\} \setminus \{1, 2, 3\} = \{4\}$. Условие выполнено.
• д) $A \cap (B \cup C) = \{3, 4\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{3, 4\}$. Условие выполнено.

Все условия выполняются, следовательно, мы нашли искомые множества.

Итоговый ответ:

а) Множество A: Ответ: $A = \{3, 4\}$

б) Множество B: Ответ: $B = \{1, 2, 3\}$

в) Множество C: Ответ: $C = \{4, 5\}$