Номер 13, страница 73 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

13. При опросе 120 студентов выяснилось, что у 100 студентов есть ноутбук, у 85 — планшет, а у 12 нет ни ноутбука, ни планшета. У скольких студентов есть и ноутбук, и планшет?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включения-исключения для множеств.

Пусть:

• $U$ — общее количество опрошенных студентов, $|U| = 120$.
• $N$ — множество студентов, у которых есть ноутбук, $|N| = 100$.
• $P$ — множество студентов, у которых есть планшет, $|P| = 85$.
• $X$ — количество студентов, у которых нет ни ноутбука, ни планшета, $X = 12$.

Требуется найти количество студентов, у которых есть и ноутбук, и планшет. Это соответствует нахождению мощности пересечения множеств $N$ и $P$, то есть $|N \cap P|$.

Шаг 1: Находим количество студентов, у которых есть хотя бы одно устройство.

Количество студентов, имеющих хотя бы одно устройство (ноутбук или планшет), равно общему числу студентов за вычетом тех, у кого нет ни одного устройства. Это число представляет собой мощность объединения множеств $N$ и $P$ ($|N \cup P|$).

$|N \cup P| = |U| - X = 120 - 12 = 108$

Итак, 108 студентов имеют по крайней мере одно устройство.

Шаг 2: Применяем формулу включения-исключения.

Формула для двух множеств выглядит так:

$|N \cup P| = |N| + |P| - |N \cap P|$

Из этой формулы мы можем выразить искомое значение $|N \cap P|$:

$|N \cap P| = |N| + |P| - |N \cup P|$

Шаг 3: Подставляем известные значения и вычисляем результат.

$|N \cap P| = 100 + 85 - 108$

$|N \cap P| = 185 - 108$

$|N \cap P| = 77$

Таким образом, у 77 студентов есть и ноутбук, и планшет.

Проверка:

• Только ноутбук: $|N| - |N \cap P| = 100 - 77 = 23$ студента.
• Только планшет: $|P| - |N \cap P| = 85 - 77 = 8$ студентов.
• И ноутбук, и планшет: $|N \cap P| = 77$ студентов.
• Ничего из перечисленного: $12$ студентов.

Общая сумма: $23 + 8 + 77 + 12 = 120$ студентов, что соответствует условию задачи.

Ответ: 77