Номер 15, страница 73 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

15. Все участники научной конференции владеют по меньшей мере одним иностранным языком. 56 из них владеют английским, 40 — немецким, 53 — французским, 9 — английским и немецким, 16 — немецким и французским, 24 — французским и английским, 5 — английским, французским и немецким. Сколько всего участников конференции?

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений для трех множеств. Поскольку каждый участник владеет хотя бы одним иностранным языком, общее число участников равно числу людей, владеющих английским, немецким или французским языком.

Обозначим множества:

• $A$ — множество участников, владеющих английским языком.
• $N$ — множество участников, владеющих немецким языком.
• $F$ — множество участников, владеющих французским языком.

Из условия задачи известны следующие размеры множеств и их пересечений:

• $|A| = 56$
• $|N| = 40$
• $|F| = 53$
• $|A \cap N| = 9$
• $|N \cap F| = 16$
• $|A \cap F| = 24$
• $|A \cap N \cap F| = 5$

Общее количество участников конференции ($K$) вычисляется по формуле включений-исключений для трех множеств:

$K = |A \cup N \cup F| = |A| + |N| + |F| - (|A \cap N| + |A \cap F| + |N \cap F|) + |A \cap N \cap F|$

Подставим числовые значения в формулу:

$K = 56 + 40 + 53 - (9 + 24 + 16) + 5$

Сначала сложим количество владеющих каждым языком по отдельности:

$56 + 40 + 53 = 149$

Затем сложим количество владеющих парами языков:

$9 + 24 + 16 = 49$

Теперь подставим полученные суммы в основную формулу:

$K = 149 - 49 + 5$

$K = 100 + 5 = 105$

Сколько всего участников конференции? Ответ: 105